Решение.

Н ачнем с определения состояний газа, в которых его температура максимальна и минимальна. Пусть температура газа в состоянии, соответствующем точке 4 на графике процесса равна Т₄. На изохоре 41 температура газа повышается до температуры Т₁. На изобаре 12 она продолжает повышаться и достигает величины Т₂. На участке 234 температура газа будет постоянно уменьшаться. Следовательно, температура газа имеет максимальную величину в точке 2, а минимальную величину – в точке 4. Тогда можно записать

Т₂ – Т₄ = ΔТ.

Введем обозначения: V_max , V_min – максимальный и минимальный объемы, занимаемые газом в круговом процессе, Р_max , P_min - максимальное и минимальное давления газа в этом процессе. Тогда для работы, совершенной газом, имеем

A = (Р_max - P_min) (V_max - V_min) = P_minV_min(α – 1)(x – 1) = νRT₄(α – 1)(x – 1),

где х = V_max /V_min = V₁/V₂ , α = P_max /P_min = P₁/P₄.

Т₂ – Т₄ = ΔТ → (Т₂ /Т₄ – 1)T₄ = ΔТ,

но

Т₂ /Т₄ = (T₂/T₁)(T₁/T₄) = (V_max /V_min)(P_max /P_min) = x α → T₄ = ΔТ/(x α - 1).

Отсюда

A = νR(α – 1)(x – 1)ΔТ/(x α - 1).

Выражая из этого равенства x, получим

1/x = V₁/V₂ = [ΔТ(α – 1) –2A/νR]/ [ΔТ(α – 1)– A/νR] =

= (ΔТ – 2A/νR)/ (ΔТ – A/νR) ~ 1/3.

6. Найти молярную теплоемкость идеального одноатомного газа, температура которого меняется по закону Т = αV², где α – постоянная величина.

Ответ: С = 2R .

Решение.

Теплоемкость газа по определению равна:

С = ΔQ/ΔT ,

где ΔQ – количество теплоты, подведенное к газу. По первому закону термодинамики имеем:

ΔQ = С_μV ΔТ + ΔA,

где С_μV = 3/2R – молярная теплоемкость идеального одноатомного газа. Подставляя закон изменения температуры в рассматриваемом процессе (Т = αV²⁾ в уравнение состояния идеального газа, получаем соотношение

P = βV ,

где β = α(m/μ)R. Давление газа в этом процессе прямо пропорционально объему, поэтому для работы газа имеем

ΔA = ½ β(V₂² – V₁²),

где V₁ и V₂ – объемы газа соответственно при температурах Т₁ и Т₂. Можно показать, что в данном процессе

V² = (R/β)T.

Тогда

ΔA = ½ R(T₂ – T₁) = ½ R ΔT.

Подставляя это выражение в равенство для теплоемкости, получим

С = (С_μV ΔТ + ½ R ΔT)/ ΔT = С_μV + ½ R = 2R.

7 . Тепловая машина работает по циклу (см. рис.), состоящему из изобары, изохоры и политропы, на которой давление газа и объем связаны соотношением P = αV, где α – постоянная величина. Найти коэффициент полезного действия тепловой машины, если в ней в качестве рабочего тела используется идеальный газ с молярной теплоемкостью при постоянном объеме Сμv = 3/2R. Отношение максимальной температуры в цикле к минимальной равно 4.

Ответ: η = [1 – (T₁ / T₂)^1/2]/4[1 + (T₁ / T₂)^1/2] = 1/12.

Решение.

Газ получает количество теплоты Q от нагревателя в процессе политропного расширения. Теплоемкость газа в таком процессе постоянна и равна (см. предыдущую задачу)

C = (m/μ)2R,

где m – масса газа. Количество теплоты, получаемое газом равно

Q = C(T₂ – T₁) = (m/μ)2R(T₂ – T₁).

Работа газа А за цикл равна площади треугольника 1,2,3:

A = ½ (P₂ – P₁)(V₂ – V₁) = ½ α(V₂ – V₁)².

Здесь P₁ и P₂ – начальное и конечное давления, V₁ и V₂ - начальный и конечный объемы в политропном процессе. Учитывая, что

V₂ = (mRT₂/α μ)^1/2 и V₁ = (mRT₁/α μ)^1/2 ,

где Т₂ и Т₁ – максимальная и минимальная температуры, перепишем выражение для работы

A = ½ (m/μ)R[√T₂ - √T₁]².

Тогда для КПД тепловой машины получим

η = A/Q = [√T₂ - √T₁]²/[4(T₂ – T₁)] =

= [1 – (T₁/T₂)^1/2]/ [4 + 4(T₁/T₂)^1/2] = 1/12.

8 . КПД цикла 1-2-4-1 (см. рис.) равен η₁ , а цикла 2-3-4-2 равен η₂. Найти КПД цикла 1-2-3-4-1 . Участки 4-1 и 2-3 – изохоры, участок 3-4- изобара, участки 1-2 и 2-4 представляют собой линейные зависимости давления от объема. Все циклы обходятся по часовой стрелке. Рабочее вещество – идеальный газ. (МФТИ, до91г)

Ответ: η = η₁ + η₂ - η₁η₂ .