Решение

Воздушный шар будет подниматься до тех пор, пока выталкивающая сила не станет равной силе притяжения шара к Земле:

m_Вg = (M + m_H2)g,

где m_В - масса воздуха, вытесненного шаром, m_H2 – масса водорода, М – масса оболочки воздушного шара.

Давление Р водорода и воздуха одинаковое, т.к. в нижней части шара есть отверстие. Для нахождения масс m_В и m_H2 воспользуемся уравнением газового состояния

m_В = μ_ВPV/(RT), m_Н2 = μ_Н2PV/(RT),

где Р – давление, Т – температура воздуха на высоте Н, V – объем шара, μ_В, μ_Н2 – молярные массы воздуха и водорода. Если давление воздуха у поверхности Земли Р_о, то на высоте Н его давление будет в 2^H/h раза меньше, т.е.

Р = Р_о2 ^-H/h,

где h = 5 км. Подставляя в уравнение равновесия шара массы m_В и m_H2 , получаем

μ_ВPV/(RT) = μ_Н2PV/(RT) + М,

из которого находим, что

2^H/h = (μ_В - μ_Н2)P_оV/(RTМ) ≈ 2⁴.

Отсюда получаем H = 4h = 20 км.

5.3. Термодинамика - I.

Вопросы:

Вопрос. В каком случае для нагревания стального шара до одной и той же температуры потребуется больше энергии: если шар висит на нити или он находится на подставке? (Подставка и нить энергии не поглощают).

Ответ. При нагревании объем шара увеличивается. Когда шар находится на подставке, его центр тяжести при нагревании поднимается, а когда висит на нити – опускается. Поэтому висящему шару нужно будет сообщить меньшее количество энергии.

Вопрос. При приготовлении газированной воды в домашних условиях используют металлические баллончики с углекислым газом под повышенным давлением. Когда в баллончике проделывается отверстие и газ начинает быстро выходить из него, баллончик охлаждается. Дать объяснение этому эффекту.

Ответ. Расширяясь, газ совершает работу против сил внешнего давления. Так как процесс расширения происходит достаточно быстро (доли секунды), то за это время не успевает произойти сколько-нибудь заметного теплообмена газа из оболочки с окружающим воздухом, т.е. процесс можно считать адиабатическим. А в таком процессе газ совершает работу за счет внутренней энергии. Так как внутренняя энергия газа уменьшается, то уменьшается и температура газа. Металл, из которого изготовлен баллончик, обладает хорошей теплопроводностью и при контакте с находящимся внутри него охлажденным газом баллончик также быстро охлаждается.

Вопрос. Некоторая порция идеального газа находится в начальном состоянии с температурой Т_o и объемом V_o . C газом проделывают два опыта: в первом опыте газ из начального состояния изотермически расширяют, сообщая ему некоторое количество теплоты Q; во втором опыте газ из того же начального состоянии изотермически сжимают, отнимая у него то же количество тепла Q . Сравнить относительное изменение объема газа в этих двух случаях.

Ответ. Так как оба процесса изотермические, то для них можно записать

|Q| = |A_газа|.

В процессе расширения среднее давление

Р_{ср.расш} < P_o.

При сжатии

Р_{ср.сжат} > P_o .

Следовательно, для совершения одной и той же работы большее изменение объема потребуется в случае расширения (А = Р_срΔV). Значит

|ΔV_сжат/V_o | < |ΔV_расш/V_o |.

Вопрос. Как изменяется при нагревании внутренняя энергия воздуха, находящегося в комнате, при нагревании?

Ответ. Внутренняя энергия воздуха, находящегося в комнате равна

U = νC_μT ,

где ν – количество молей воздуха в комнате, C_μ – молярная теплоемкость воздуха, Т – температура. Из уравнения состояния идеального газа следует, что

νRT = РV.

Следовательно, U определяется только давлением, т.к. объем комнаты не меняется. Давление же остается постоянным и равным атмосферному давлению, значит, энергия воздуха в комнате остается постоянной. Нагреваясь, воздух частично вытекает через щели наружу, что и обеспечивает постоянство давления и энергии в комнате.

Вопрос. Как изменяется внутренняя энергия идеального газа в процессе квазистатического адиабатического сжатия?

Ответ. В процессе адиабатического сжатия над газом совершается работа. Так как теплота в этом процессе не подводится, то эта работа идет на увеличение его внутренней энергии. Поэтому температура газа повышается.

Вопрос. Объем одной и той же массы идеального газа увеличивают вдвое – один раз изотермически, другой раз изобарически. В каком случае требуется большее количество теплоты?

О твет. Пусть точка 1 соответствует начальному состоянию газа (см. рис). Процессу изотермического расширения соответствует линия 12а, а процессу изобарического расширения – прямая 12б. Сравним количества теплоты, подводимые к газу в каждом процессе:

изобара –

Q_12б = ΔU_12б + A_12б ; ΔU_12б > 0 ; A_12б > 0.

изотерма –

Q_12а = ΔU_12а + A_12а ; ΔU_12а = 0; A_12а > 0.

Работа газа в тепловом процессе численно равна площади фигуры под графиком процесса в координатах P,V. Из рисунка видно, что

A_12б > A_12а .

Следовательно,

Q_12б > Q_12a ,

т.е. для одинакового увеличения объема из одного и того же начального состояния в изобарическом процессе потребуется большее количество тепла, чем в изотермическом.

В опрос. Циклический процесс состоит из адиабаты, изобары и изохоры (см. рис.). На каких участках цикла рабочий газ получает тепло, а на каких отдает?

Ответ. Адиабатический процесс 12 идет без теплообмена (ΔQ₁₂ =0), на изобаре 23 газ сжимается (А₂₃ < 0), при этом уменьшается его температура (ΔU₂₃ < 0). Следовательно, по первому началу термодинамики, количество теплоты, переданное газу

ΔQ₂₃ = ΔU₂₃ + А₂₃ < 0,

т.е. газ отдает тепло. На изохоре 31 газ работы не совершает (V = const, А₃₁ = 0), а его температура увеличивается (ΔU₃₁ > 0). Следовательно, на изохоре 31

Q₃₁ > 0,

т.е. газ получает тепло.

Вопрос. В цикле, изображенном на рисунке, на участке 1-2 давление пропорционально объему, 2-3 – изотерма, а 3-1 – изобара. На каких участках газ получает тепло, а на каких отдает?

Ответ. На участке 1-2

Р = аV, т.е. Р² = вТ,

и, следовательно, на этом участке растет температура газа, т.е. его внутренняя энергия; кроме того, газ совершает положительную работу, т.к. V₂ > V₁. Следовательно,

Q₁₂ = ΔU₁₂ + A₁₂ > 0,

газ получает тепло.

На участке 2-3

ΔU₂₃ = 0, A₂₃ > 0, т.к. V₃ > V₂,

следовательно

Q₂₃ > 0,

газ тоже получает тепло.

На участке 3-1

Т = kV,

V уменьшается, значит Т тоже уменьшается, следовательно и

ΔU₃₁ < 0, A₃₁ < 0, т.к. V₁ < V₃,

следовательно Q₃₁ < 0 - газ отдает тепло.

Вопрос. Одинакова ли при данной температуре внутренняя энергия 1 моля водорода и 1 моля гелия?

Ответ. Так как гелий - одноатомный газ, его внутренняя энергия

u_Г = 3/2RT;

водород – двухатомный газ, его внутренняя

u_В = 5/2RT,

т.е. u_Г < u_В (за счет вращательного движения молекул водорода.)

Вопрос. Часть молекул двухатомного газа диссоциировала на атомы. Как изменилась при этом внутренняя энергия газа, если его температура осталась прежней? Как при этом изменятся теплоемкости газа С_v и С_р?

Ответ. Начальная внутренняя энергия двухатомного газа u_o = 5/2νRT, где ν – число молей газа. Если часть α молей диссоциировало, то образовалась смесь из (1 – α)ν молей двухатомного газа и 2α ν одноатомного, и внутренняя энергия этой смеси будет равна

u = 3/2(2α ν)RT + 5/2((1 – α) ν)RT = 5/2 νRT + 1/2α νRT > u_o .

Т.е. внутренняя энергия возрастает на величину Δu = ½ α νRT.

Т.к. u = C_v ν T, то теплоемкость С_v станет равной

С_v^/ = 5/2R + 1/2Rα.

А т.к. С_р = С_v + R, то

С_р^/ = 7/2R + 1/2Rα.

В опрос. На рисунке изображены два цикла: I и II. Для какого из них КПД больше?

Ответ. По определению КПД равно η = А / Q_H, где А – полная работа за цикл, а Q_H – тепло, полученное газом, совершающим цикл, от нагревателя. В координатах Р, V работа равна площади цикла, и, следовательно, А_I = A_II = A.

В цикле 1-2-3-1 газ получает тепло на участках 1-2 и 2-3 и отдает на участке 3-1, причем А = Q₁₂ + Q₂₃ + Q₃₁ >0, следовательно, | Q₁₂ + Q₂₃| > | Q₃₁|, а η_I = A/( Q₁₂ + Q₂₃).

Во втором цикле тепло получается на участке 1-3 и отдается на участках 3-4 и 4-1, следовательно, η_II = A/ Q₁₃ > η_I .

В опрос. Некоторое количество идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 2 один раз посредством процесса I, другой раз – процесса II (см. рис.). Какой знак имеют работы А_I и А_II, совершенные газом в ходе каждого из них?

Ответ. В процессе I вначале работа газа отрицательна (объем уменьшается), затем положительна. Т.к. общее изменение объема равно нулю, а уменьшение объема происходит при меньшем давлении, чем увеличение, работа А_I – положительна. В процессе II , наоборот, расширение газа происходило при меньшем давлении, чем сжатие, и работа А_II – отрицательна.

Вопрос. В каком процессе теплоемкость больше – изохорическом или изобарическом?

Ответ. В изобарическом теплоемкость больше, т.к. кроме увеличения внутренней энергии, совершается работа. Можно показать для идеального газа, что С_р = С_v + R.

Вопрос. Как меняется температура в комнате при открытой дверце работающего холодильника?

Ответ. Так как температура внутри холодильника ниже комнатной, при открывании дверцы температура вначале понизится. Но если дверцу держать открытой достаточно долго, температуры холодильника и комнаты сравняются, и температура в комнате начнет повышаться за счет выделения тепла мотором работающего холодильника.

Вопрос. Как изменяется внутренняя энергия газа при его квазистатическом адиабатическом расширении?

Ответ. При расширении газ совершает работу А > 0; т.к. тепло не подводится, внутренняя энергия должна уменьшаться:

Q = Δu + A; Q = 0; A > 0 → Δu < 0.

Вопрос. Одинаковое ли количество тепла необходимо для нагревания газа до одной и той же температуры в сосуде прикрытом поршнем,

• если поршень не перемещается;

поршень не закреплен.

Ответ. Во втором случае нужно большее количество тепла, т.к. при этом совершается работа по поднятию поршня, а изменение внутренней энергии в обоих случаях одинаково.

Вопрос. Может ли теплоемкость газа быть отрицательной?

Ответ. Может. Теплоемкость газа С по определения равна отношению подведенного тепла к изменению температуры: C = ΔQ/ΔT. Если теплоемкость отрицательна, то, подводя к газу извне энергию, его температура, а, следовательно, и внутренняя энергия должны уменьшиться. Это возможно лишь тогда, когда газом совершается работа большая по величине, чем подведенное тепло (энергия извне). Совершение такой работы возможно лишь за счет уменьшения внутренней энергии газа.

В опрос. На рисунке изображен замкнутый процесс (цикл) для некоторой массы идеального газа. На каких участках цикла газ получал и на каких отдавал тепло?

Ответ. Проведем изотермы через точки 1, 2, 3, 4. Видно, что T₂ > T₃ > T₁ > T₄.

Q₁₂ = (u₂ – u₁) + P(V₂ – V₁); T₂>T₁,

т.е.

(u₂ – u₁) > 0; (V₂ – V₁) > 0 → Q₁₂ > 0 – газ получал тепло.

Q₂₃ = u₃ – u₂ < 0 – газ отдавал тепло.

Q₃₄ = (u₄ – u₃) + P(V₄ – V₃); T₄<T₃,

т.е.

(u₄ – u₃) < 0; (V₄ – V₃) < 0 → Q₃₄ < 0 – газ отдавал тепло.

Q₄₁ = u₁ – u₄ > 0 – газ получал тепло.

В опрос. Идеальный газ заполнял половину теплоизолированного сосуда, во второй был вакуум (см. рис.). Как изменится температура газа, если отпустить поршень и дать газу заполнить весь сосуд? Поршень движется без трения.

Ответ. Так как давление на поршень справа равно нулю, работа при расширении газа в данном случае не производится. Тепло также не подводится. Следовательно, по первому началу термодинамики Δu = Q – A = 0, а Δu = C_v ΔT, значит, температура газа не меняется.

Вопрос. На рисунке изображены 4 квазистатических процесса, протекающих с идеальным газом. Как ведет себя внутренняя энергия в ходе каждого из них?

Ответ. Внутренняя энергия прямо пропорциональна температуре. Т.к. в ходе процессов 1 и 2 температура растет, растет и внутренняя энергия. Процесс 3 – изотерма, внутренняя энергия не меняется. В процессе 4 (адиабата) температура падает, следовательно, внутренняя энергия уменьшается.

Вопрос. Почему нагревается насос при накачивании шины? Дать объяснение, как с термодинамической, так и молекулярно-кинетической точек зрения.

Ответ. Чтобы протолкнуть воздух в шину нужно сжать его до давления больше атмосферного. Сжатие происходит довольно быстро, практически без теплообмена с окружающей средой. Работа внешних сил, поэтому идет на увеличение внутренней энергии. Действительно

ΔU = ΔQ + A_внеш, ΔQ = 0,

следовательно , ΔU = A_внеш.

С молекулярно-кинетической точки зрения процесс увеличения внутренней энергии происходит следующим образом. Поршень движется с некоторой скоростью u. Молекулы газа подлетают к поршню со скоростью v, а после упругого удара отлетят от поршня со скоростью большей, так как поршень движется ей навстречу. Это приводит к увеличению кинетической энергии молекул, ударившихся о поршень и, следовательно, нагреванию газа.

Вопрос. Чем объяснить, что при вколачивании гвоздя его шляпка почти не нагревается, но, когда гвоздь вбит, достаточно нескольких ударов, чтобы шляпка сильно нагрелась?

Ответ. Механическая энергия молотка в первом случае частично превращается во внутреннюю энергию шляпки (нагревается гвоздь и дерево вокруг гвоздя за счет трения), во втором – почти целиком энергия превращается во внутреннюю энергию шляпки.

Вопрос. Граф Румфорд (американский ученый Б.Томсон) работая в Мюнхене в оружейном арсенале, обратил внимание на то, что при холостом выстреле из пушки ее ствол нагревается сильнее, чем при выстреле снарядом. Почему?

Ответ. Во втором случае большая часть энергии, выделяющейся при сгорании пороха, расходуется на сообщение механической энергии снаряду.

Вопрос. Теплый воздух поднимается кверху. Почему же в тропосфере (нижняя часть атмосферы – до 10-15 км) внизу теплее, чем вверху?

Ответ. Атмосферный воздух, поднимаясь вверх, расширяется и охлаждается (совершает работу).

Вопрос. В ветреную погоду у людей отмерзают носы. Между тем известно, что метеориты раскаляются при полете в атмосфере. Почему нос не нагревается, а охлаждается?

Ответ. Все дело в разнице скоростей ветра и метеорита. При ветре ускоряется теплообмен между лицом и окружающим воздухом, и лицо сильнее охлаждается. При скоростях, с которыми движутся метеориты, воздух перед метеоритом адиабатически (теплообмен не успевает произойти) сильно сжимается, вследствие чего его внутренняя энергия и температура значительно повышается, и метеорит, взаимодействуя с этим нагретым воздухом, нагревается сам.

Вопрос. Когда скорее остынет чайник с кипятком: когда его поставят на лед, или когда лед положат на крышку чайника?

Ответ. Когда лед положат на крышку чайника.

Вопрос. Когда тяга в трубах лучше – зимой или летом?

Ответ. Зимой. Разность температур в печи и атмосфере выше, а, следовательно, выше и разность давлений.

Вопрос. Двое в столовой взяли на третье чай. Первый сразу долил в стакан сливки, а второй сначала съел первое и второе, а затем долил сливки в чай. Кто будет пить более горячий чай?

Ответ. Первый. После добавления сливок температура чая понизилась и далее стала уменьшаться медленнее, чем у второго, т.к. разность температур чая и окружающего воздуха оказалась меньше.

Вопрос. Вода нагревается на электрической плитке постоянной мощности. На что требуется больше времени – чтобы нагреть ее от 10^оС до 20^оС или от 80^оС до 90^оС?

Ответ. Т.к. теплоотвод в окружающую среду пропорционален разности температур тела и среды, во втором случае теплоотвод больше и нагревание будет идти дольше. К тому же при этом будет происходить и большее испарение воды.

Вопрос. Каким кипятильником можно вскипятить воду в кастрюле с меньшей затратой энергии – 600-ваттным или киловаттным?

Ответ. При использовании кипятильника с большей мощностью вода нагревается быстрее; при этом теплоотвод в окружающую среду и испарение будет меньше, т.е. энергии затратится меньше при использовании кипятильника в 1кВт.

Вопрос. При какой температуре и металл, и дерево будут на ощупь казаться одинаково нагретыми?

Ответ. Одинаково нагретыми будут казаться тела в том случае, если теплообмен между телом и рукой отсутствует. Т.е. при температуре человеческого тела ≈ 36.6 ^оС.

Вопрос. Какие трубы (фабричные) лучше выполняют свое назначение железные или кирпичные?

Ответ. Кирпичные. Тяга в трубах зависит от разности температур внизу и вверху. У кирпичных труб теплопроводность меньше и разность температур будет больше и, следовательно, тяга больше.

Вопрос. Если медную или латунную сетку разместить над пламенем газовой горелки, то пламя как бы срезается сеткой. Почему?

Можно зажечь газ над сеткой, пламя снизу гореть не будет. Почему?

В рудниках и шахтах часто скапливается легко воспламеняющийся и взрывоопасный рудничный газ. Чтобы избежать несчастных случаев, раньше горняки пользовались предохранительными лампами Дэви. Это обыкновенная лампа, пламя которой окружено металлической сеткой. Можно ли зажигать такую лампу в шахте?

Ответ. Газ горит, если его температура достигает определенного значения. Металлическая сетка, обладая большой теплопроводностью уменьшает температуру газа над сеткой поэтому пламя оказывается срезанным.

Если газ зажечь над сеткой, то сетка не позволит увеличить температуру газа настолько, что газ загорится.

Лампу Дэви нельзя зажигать в шахте. Сначала пламя действительно буде внутри сетки. На газ постоянно поступает извне и в конце концов сетка прогреется и газ загорится снаружи сетки.

Вопрос. Почему иногда крышка чайника, в котором кипит вода, подпрыгивает, а иногда нет?

Ответ. Если вода в чайнике находится на уровне ниже основания носика. То пар выходит через носик, и крышка будет неподвижной. Если уровень воды выше основания носика, то пар будет выталкивать крышку. После сброса давления крышка возвращается на место и процесс повторяется.

Вопрос. Можно ли расплавленным металлом заморозить воду?

Ответ. Можно, ртутью при температуре ниже 0^оС и нормальном атмосферном давлении. Температура плавления ртути Т_пл = - 38.9^оС. (Т_кип = 356.7^оС.)

Вопрос. Почему пальцы рук на сильном морозе примерзают к металлическим ручкам и не примерзают к деревянным?

Ответ.Примерзание обусловлено кристаллизацией влаги на руках. Чтобы замерзнуть, вода должна иметь температуру < 0^оС и должен быть обеспечен быстрый теплоотвод от нее. Теплопроводность металла значительно больше теплопроводности дерева: k_Al = 210 Вт/(м^.град), k_Fe = 74 Вт/(м^.град), k_дуб = (0.2 – 0.4) Вт/(м^.град),

Вопрос. Почему 100 – градусный пар обжигает сильнее воды такой же температуры?

Ответ.При конденсации пара и дальнейшем охлаждении воды от 100^оС до температуры тела выделяется больше теплоты, чем только при охлаждении воды. Кроме того, при конденсации температура держится постоянной 100^оС. В случае воды температура вблизи поверхности тела быстро падает (пограничный слой). Если пошевелить воду, то становится горячо.

Вопрос. Какая вода будет быстрее охлаждать раскаленный металл: холодная (20^оС) или горячая (100^оС)?

Ответ.Горячая, т.к. при кипении происходит интенсивное парообразование, которое сопровождается значительно большим, чем при нагревании воды, поглощением теплоты.

Вопрос. В кастрюле бурно кипит вода. В нее помещают другую, меньшую кастрюлю с водой, нагретой до 100^оС. Закипит ли вода во второй кастрюле?

Ответ.Нет. Для кипения нужен постоянный приток тепла (на парообразование), а его нет, т.к. температура в малой кастрюле 100^оС и температура стенок тоже 100^оС.

Вопрос. Почему капли воды на раскаленной сковороде «живут» дольше, чем на просто горячей?

Ответ.В месте контакта капли и раскаленной сковороды образуется паровая подушка, которая затрудняет дальнейший теплообмен.

Вопрос. Будет ли свеча гореть на борту орбитального комплекса?

Ответ.Не будет, т.к. кислород к месту горения поступать не будет. Конвекция отсутствует.

Вопрос. Игрушка «курильщик» устроена следующим образом: в рот фигурки вставляется «сигарета», состоящая из пластмассового прутика, обернутого слоем бумаги. Если «сигарету» поджечь, то дым идет не непрерывно, а порциями. Почему?

Ответ.Скорость горения пластмассы больше скорости горения бумаги. При зажигании «сигареты» пластмассовый прутик загорается и сразу гаснет, т.к. доступ воздуха к нему затруднен медленно горящей бумагой. Когда бумага догорит до пластмассы, последняя снова загорается, выпуская порцию дыма.

Вопрос. Пламя горелки коптит. Если поднести сверху вертикальную стеклянную трубку, копоть пропадает, однако появляется снова, если трубку закрыть сверху. (НГУ)

Ответ. При нагреве воздуха его плотность уменьшается и начинается конвекция: менее плотный нагретый воздух, обедненный кислородом, всплывает. На его место поступает более холодный воздух, обеспечивая, таким образом, приток к пламени необходимого для горения кислорода. При этом встречные потоки тормозят друг друга и частично перемешиваются. При нехватке кислорода пламя коптит (содержит большое количество несгоревшего, неокислившегося углерода – сажи)

В трубке создается заметный поток воздуха, обусловленный разностью давлений на его концах. При этом взаимодействие со встречным потоком отсутствует, поэтому скорость потока холодного воздуха велика (воздух в восходящую струю попадает лишь снизу, где давление максимально) и продукты сгорания быстро удаляются из области горения. Когда же трубка закрыта, нагретый воздух уже не может выйти вверх, начинает выходить снизу и ощутимо ограничивать доступ свежему воздуху. Пламя может погаснуть.

1 . В теплоизолированном сосуде находится насыщенный водяной пар. Через сосуд по змеевику пропускается холодная вода (см. рис.). Температура воды на входе равна t_o = 18^oC. Если пропускать воду со скоростью v₁ = 3м/с, то ее температура на выходе равна t₁ = 68^oC. Если пропускать воду со скоростью v₂ = 6м/с, масса пара, сконденсировавшегося на змеевике, оказывается такой же, как в первом случае. Чему равна при этом температура воды на выходе?

Ответ: t₂ = (v₁/v₂) (t₁ – t_o) = 43^oC.