Решение.

Обозначим начальное давление воздуха под поршнем через Р_ho. Начальное условие равновесия поршня имеет вид

P_hoS + T = P_oS + Mg.

Отсюда

P_ho = P_o + (Mg – T)/S.

Для произвольного момента времени, когда поршень находится на расстоянии x от дна, давление Р_х воздуха под поршнем

P_x = P_ho h_o/x = [P_o + (Mg – T)/S] (h_o/x).

Уравнение движения поршня

М(dv/dt) = P_oS + Mg – P_xS.

Максимальная скорость поршня будет тогда, когда dv/dt = 0.

Отсюда расстояние

x_m = h_o [P_o + (Mg – T)]/ ( P_oS + Mg).

1 9. В герметичном сосуде находится воздух при t = 0^oC и нормальном атмосферном давлении (см. рис.), которое равно внешнему. На стенке сосуда имеется клапан в форме правильного треугольника со стороной а = 2 см, который может открываться наружу, вращаясь вокруг неподвижной оси АВ. Клапан удерживается в закрытом положении пружиной жесткостью k = 60 Н/м, прикрепленной к нему в точке С и растянутой на величину ΔL = 3 см. Ось пружины перпендикулярна плоскости клапана. На сколько градусов надо нагреть воздух в сосуде, чтобы клапан открылся?

Ответ: ΔТ = 85 К.

Решение.

По условию Р₁ = 100кПа, Т₁ = 273 К. Пусть в момент перед открытием клапана давление в сосуде стало равным Р₂ и температура Т₂ . Тогда

Р₁/Т₁ = Р₂/Т₂.

При открытии клапана

(Р₂ – Р₁)Sx = k ΔL3x.

(из равенства моментов силы давления воздуха и силы упругости пружины). Здесь x – расстояние от АВ до центра клапана, где приложена сила давления воздуха в сосуде на клапан, S = a²√3/4 – площадь клапана. Из написанных уравнений находим необходимое для открытия клапана изменение температуры:

ΔT = 4√3k ΔLT₁/(a²P₁) = 85 K.

20. В объеме V_o при температуре Т_o и давлении Р находится воздух с некоторым количеством озона О₃. После долгого выдерживания в тени озон полностью превратился в молекулярный кислород О₂. При том же давлении температура воздуха стала равна Т, а объем V. Найти начальное число молей озона. (НГУ-92)

Ответ: ν_Oз = 2P(T/V - T_o/V_o).

Решение.

Так как два атома озона переходят в три атома кислорода, то для молей этих газов получаем связь:

ν_O2 = (3/2) ν_Oз

С учетом сохранения давления Р и выполнения закона Менделева-Клапейрона имеем

P = (ν + ν_Oз)T_o/V_o = (ν + (3/2) ν_Oз )T/V,

где ν - число молей воздуха в объeме V_o.

Отсюда

ν_Oз = 2P(T/V - T_o/V_o).

2 1. Поршень массой m находится в равновесии посредине герметично закрытого цилиндра длиной 2L (см. рис.). В каждой половине цилиндра находится  молей газа, имеющего абсолютную температуру Т. Определить период  малых колебаний поршня, считая, что температура газа при колебаниях остается неизменной. Трением пренебречь.

Ответ:  = L[2m/(RT)]^1/2.

Решение.

Для движения поршня запишем уравнение второго закона Ньютона

ma = F = SP,

где S – площадь поперечного сечения поршня, P – разница давлений газа по обе стороны от поршня

При малых смещениях x поршня от положения равновесия (когда x << L)

P = RT[1/(V+ΔV) – 1/(V - V)]  -2RTV /V² = -2RTx/(SL²),

тогда

ma = -2RTx/L²,

или

mx^// +2RTx/L² = 0.

Это уравнение является уравнением гармонических колебаний с частотой

 = [2RT/m]^1/2/ L.

Тогда для периода колебаний получим

 = 2 /  = 2L[m/(2RT)]^1/2 = L[2m/(RT)]^1/2.

22. Серный ангидрит в количестве ₁ = 1моль поместили в замкнутый сосуд и нагрели до температуры Т = 1000 К, при которой он частично диссоциировал на сернистый ангидрид и кислород: SO₃ = SO₂ + ½ O₂. Степень диссоциации SO₃ в этих условиях оказалась равной ₁ = 0.2. Когда в тот же сосуд поместили ₂ = 0.4 моль SO₃ , то для получения такого же, как в первом опыте, давления газ пришлось нагреть до температуры Т₂ = 2000 К. Определить степень диссоциации SO₃ во втором опыте.

Ответ: ₂ = 0.75.