Решение.

Условие равновесия левого поршня:

P_oS – kx – P₁S = 0.

Условие равновесия правого поршня:

P₁S + F – P_oS = 0.

Из закона Бойля-Мариотта имеем

P_oL = P₁(2L – x).

Отсюда следует, что F = kx, т.е. x = F/k. Таким образом

F² – F(2kL + P_oS) + P_oLkS = 0.

Отсюда

F = kL + ½ P_oS – [(kL)² + ( ½ P_oS)²]^1/2. ( F → 0 при k → 0).

1 1. Цилиндрический сосуд с тонкими двойными стенками наполнили до краев жидкостью плотностью ρ (см. рис.). Высота сосуда равна Н, площадь дна равна S, площадь сечения внутреннего цилиндра - ½ S. Между внутренним цилиндром и дном имеется щель. Найти значение атмосферного давления, если масса жидкости в сосуде равна m. Стенки сосуда хорошо проводят тепло. Давление насыщенных паров жидкости мало по сравнению с атмосферным. (Меледин, 2.2)

Ответ: P_o = 4g(ρHS – m)² / [S (2m – ρHS)].

Решение.

Масса жидкости

m = ½ ρHS + ½ ρhS.

Введем давление запертого между стенками воздуха Р и Р_о – атмосферное давление. Условие равновесия и закон Бойля –Мариотта дают

P = P_o + ρg(H – h),

P (H – h) = P_oH.

Отсюда

P_o = 4g(ρHS – m)² / [S(2m – ρHS)]

12. Сосуд объема V = 2 л разделен на две равные части полунепроницаемой неподвижной перегородкой. В первую половину сосуда введена смесь m_В = 2 г водорода и m_А = 20 г аргона, во второй половине – вакуум. Через перегородку может диффундировать только водород. Температура сосуда поддерживается постоянной и равной t = 20^oC. Какое давление установится в первой половине сосуда после окончания процесса диффузии? (МФТИ,1992)

Ответ: Р = 2.4 10⁶ Па.

Решение.

Водород заполнит весь сосуд, и его давление

Р_В = (m_В/_В)(RT/V);

аргон останется весь в первой половине и его давление

Р_А = (m_А/_А)(2RT/V) .

По закону Дальтона давление в первой половине сосуда

Р = Р_В + Р_А = (RT/V)( m_В/_В + m_А/_А ) = 2.4 10⁶ Па.

13. Из сосуда хотят откачать водород с помощью адсорбционного насоса, т.е. подсоединенного к сосуду отростка с насыпанным в него адсорбентом. Масса поглощенного водорода не превышает 0.02 массы самого адсорбента. Сосуд, какого объема можно откачать с помощью адсорбента массы m = 100 г, если начальное давление водорода в сосуде Р_о = 10 Па, а температура Т = 300 К. (МФТИ,1988)

Ответ: V ~ 250м³.

Решение.

Масса водорода, которую может поглотить адсорбент, равна m_В = 0.02m = 2г. При заданных Р_о и Т она содержится в объеме

V = mRT/μP_o ~ 250м³,

т.е. сосуд такого объема адсорбент полностью откачает.

14. Внутри закрытого с обеих сторон горизонтально расположенного цилиндра имеется поршень, который скользит в цилиндре без трения. С одной стороны поршня находится m_В = 2 г водорода, а с другой m_а = 17 г азота. Какую часть объема цилиндра занимает водород? (МФТИ,1988)

Ответ: V_В / V_o = 0.62.

Решение.

Условие равновесия поршня – равенство давлений азота и водорода. Температуры их одинаковы. Запишем для каждого уравнение состояния:

PV_В = m_ВRT/μ_В

P (V_o - V_В) ₌ m_а RT/μ_{а ,}

где μ_а, μ_В – молярные массы азота и водорода. Поделив уравнения, найдем

V_В / V_o = m_В μ_a/ ( m_В μ_a + m_а μ_В ) = 0.62.

15. Лазерные трубки должны быть заполнены смесью гелия и ксенона в молярном соотношении 9:1 при общем давлении 10 торр. Ксенон содержится в баллонах объема V₁ = 1 л при давлении Р₁ =300торр, а гелий в баллонах V₂ = 2 л при давлении Р₂ = 50 торр. Сколько баллонов гелия понадобится для того, чтобы полностью использовать один баллон ксенона? (МФТИ,1988)

Ответ: N = 27 баллонов.