Решение.

Моль газа занимает объем V = RT/P. На одну молекулу приходится объем

v = RT/(PN_A) = kT/P.

Среднее расстояние между молекулами, таким образом,

L = (kT/P)^1/3.

При температуре t = 100^оС давление насыщенного водяного пара Р = 100 кПа. Окончательно получаем L = 3.7^.10^-9 м.

15. В вакууме находится мыльный пузырь радиуса R₁ c газом, внутри которого находится такой же пузырь радиуса R₂ и с таким же газом. Внутренний пузырь лопается. Найти радиус внешнего пузыря, если температура газа поддерживается постоянной. (Меледин, 2.14)

Ответ: R = (R₁² + R₂²)^1/2.

Решение.

В первом пузыре давление

Р₁ = 4σ/R₁,

а во втором

Р₂ = Р₁ + 4σ/R₂.

После того как остался один пузырь, давление в нем стало

Р. = 4σ/R.

Объемы газа соответственно равны

V₁ = 4π(R₁³ – R₂³)/3,

V₂ = 4πR₂³/3,

V = 4πR³/3.

По закону Бойля-Мариотта находим

P₁V₁ + P₂V₂ = PV;

Отсюда

R = (R₁² + R₂²)^1/2.

16. Оценить относительную ошибку, которую допускают при измерении атмосферного давления ртутным барометром, имеющим барометрическую трубку с внутренним диаметром d = 5 мм. Занижает или завышает показания такой барометр? Какова относительная ошибка при измерении атмосферного давления по высоте столбика ртути, если коэффициент поверхностного натяжения ртути σ = 0.48 Н/м, а плотность ртути ρ = 13.6 г/см³.

Ответ: ε ≈ 0.4 %.

Решение.

Ртуть не смачивает стекло, мениск будет выпуклым, и высота столбика ртути уменьшается из-за действия сил поверхностного натяжения. Абсолютная систематическая ошибка при измерении высоты ртутного столба таким барометром определится из условия:

ΔP = πdσ/(¼πd²) = 4σ/d = ρ_ртgΔh,

откуда

Δh = 4σ/(dρ_ртg).

Относительная ошибка измерения давления:

ε = ΔP/P = Δh/h = 4σ/(dρ_ртgh),

где h ≈ 76 см, поэтому ε ≈ 0.4 %.

17. Конец капиллярной трубки радиуса r = 0.05см опущен в воду на глубину h = 2см. какое давление необходимо, чтобы выдуть пузырек воздуха через нижний конец трубки? Поверхностное натяжение воды σ = 0.072 Н/м.

Ответ: Р = 472 Па.

Необходимое давление должно превышать атмосферное на величину, способную уравновесить гидростатическое давление столба жидкости и капиллярное давление в пузырьке воздуха радиуса r . Повышение давления

Р = ρgh + 2σ/r = 484Па.

18. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно выдуть мыльный пузырь радиуса R = 4 см через тонкую трубку? Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора считать равным 0.07 Н/м.

Ответ: А = 2.9 мДж.

Решение.

1-й способ. Давление газа внутри мыльного пузыря больше наружного атмосферного давления. При этом давление внутри жидкой пленки, образующей пузырь, больше атмосферного на величину 2σ/r₁, но меньше давления внутри пузыря на величину 2σ/r₂, Здесь r₁ - радиус внешней сферической поверхности, а r₂ - внутренней. Так как пленка тонкая, то можно считать, что r₁ ≈ r₂ = r, где r - радиус пузыря. Тогда избыточное давление внутри пузыря

ΔP = 4σ/r.

Найдем полную силу, растягивающую пузырь, учитывая, что площадь сферической поверхности равна S = 4πr²:

F = ΔPS = 16π σ r.

При увеличении радиуса пузыря на малую величину Δr силы давления совершают работу

ΔA = FΔr = 16π σ rΔr.

При выдувании пузыря радиус r увеличивается от 0 до R. Так как сила F увеличивается прямо пропорционально r, то полная работа по выдуванию пузыря равна

A = F_срR = ½ F_maxR = 8π σ R².

2-й способ. Работа внешних сил по выдуванию пузыря идет на увеличение поверхностной энергии мыльной пленки. Общая площадь поверхности пленки равна удвоенной площади сферы радиуса R. Тогда

A = W_пов = σS_общ = 8π σ R² ≈ 2.9 мДж.

19. Для дальней космической связи используется спутник объемом 100м³ , наполненный воздухом при нормальных условиях. Метеорит пробивает в его корпусе отверстие площадью S = 1см². Через какое время давление воздуха внутри спутника изменится на 1%. Температуру считать неизменной.

Ответ: Δt ~ 6 мин.