Решение.

Изменение импульса выделенного объема жидкости за малое время

ρS₂v₂Δtv₂ - ρS₁v₁Δtv₁ = (S₁P₁ - S₂P₂ + F_o) Δt ,

где ρS₁v₁Δt – масса жидкости, прошедшей через сечение S₁ за время Δt, F_o – сила, с которой труба действует на жидкость. Искомая сила F = - F_o,

F = S₂P₂ - S₁P₁ - ρS₁v₁²( 1 – S₁/S₂).

Закон сохранения энергии для объема жидкости, протекшей за время Δt между сечениями I и II, дает

P₁S₁v₁Δt – P₂S₂v₂Δt = ½ Δmv₂² - ½ Δmv₁² + ΔQ.

Здесь в левой части уравнения – работа силы давления, произведенная над интересующим нас объемом жидкости, а в правой части – изменение кинетической энергии этого объема жидкости и количество теплоты, выделившееся между сечениями I и II за время Δt. Учитывая неразрывность течения жидкости, получаем

Δm = ρS₁v₁Δt = ρS₂v₂Δt

и, окончательно, количество теплоты, выделившееся в единицу времени

ΔQ/Δt = S₁v₁[(P₁ - P₂) + ½ ρv₁²(1 – S₁²/S₂²).

1 2. Сосуд с водой движется по наклонной плоскости с углом наклона α так, что уровень воды устанавливается параллельно этой плоскости (см. рис.). Из отверстия около дна сосуда вытекает вода со скоростью v. Определить коэффициент трения между сосудом и плоскостью, если масса сосуда с водой равна m , а площадь отверстия S. Изменением массы воды, связанным с ее истечением из сосуда, пренебречь. (Гольдфарб,3.22)

Ответ: k = ρSv²/(mgcosα).

Решение.

Для сосуда с водой второй закон Ньютона имеет вид

ma = mgsinα + F_р – kmgcosα.

Из условия, что уровень воды параллелен наклонной плоскости, следует, что сосуд с жидкостью движется вдоль наклонной плоскости с ускорением

а = gsinα.

Сила реакции, по третьему закону Ньютона, численно равна изменению количества движения воды, вытекающей из сосуда в единицу времени:

F_p = Δ(mv)/Δt = (ρSΔx)v/Δt = ρSv².

Отсюда

k = ρSv²/ (mgcosα).

13. В стенке сосуда с водой просверлены одно над другим два отверстия площади S = 0.2 см² каждое. Расстояние между отверстиями Н = 50 см. в сосуд ежесекундно вливается Q = 140 см³ воды (при этом уровень воды в сосуде остается постоянным). Найти точку пересечения струй, вытекающих из отверстий. (Буховцев, 284)

Ответ: x = 120 см, y = 130 см (от уровня воды).

Решение.

О бозначим через h расстояние от уровня воды до верхнего отверстия, через х искомое расстояние от сосуда до точки пересечения струй по горизонтали и через y расстояние от уровня воды в сосуде до той же точки (см. рис.). Точка пересечения струй будет оставаться на одном месте, если уровень воды не изменяется. Для этого необходимо, чтобы

Q = Sv₁ + Sv₂,

где v₁ = (2gh)^1/2 и v₂ = [2g(H + h)]^1/2 - скорости истечения струй из отверстий. На основании законов кинематики

x = v₁t₁ = v₂t₂,

y = h + ½ gt₁² = h + ½ gt₂² ,

где t₁ и t₂ – время “падения” воды от отверстий до точки пересечения струй. Отсюда

x = ½ [Q²/ (2gS²) – 2gS²H²/Q²] = 120 см,

y = ½ [Q²/ (2gS²) + 2gS²H²/Q²] = 130 см.

1 4. “Тройник” с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой, полностью заполнен водой (см. рис.). После того, как “тройник” стали двигать по горизонтали (в плоскости рисунка) с некоторым постоянным ускорением, из него вылилось 1/8 массы всей содержавшейся в нем воды. Чему равно давление в жидкости в нижней части закрытой трубки (точка О)? Трубки имеют одинаковое внутреннее сечение и длину L. (МФТИ,1998)

Ответ: P_АТМ + (7/4) ρgL.