Решение.

В тот момент, когда высота столба жидкости в вертикальном колене трубки станет равной х, масса жидкости в этом колене будет равна ρsx, где s – сечение трубки, ρ – плотность жидкости. Пусть в этот момент времени давление в изгибе трубки станет равным Р. Тогда второй закон Ньютона для этой массы жидкости запишется в виде

(ρsx)x^// = - (ρsx)g – (P_a – P)s

(ось х направлена вверх), где P_a – атмосферное давление. Уравнение же движения жидкости в горизонтальном участке трубки с учетом того, что трубка тонкая и того же сечения, а массой поршня можно пренебречь, можно представить в виде

[Ρs (L - x)]x^// = – ( P - P_a)s .

из приведенных уравнений следует, что при 0 < x ≤ L ускорение, с которым движутся поршень и жидкость в трубке, должно быть равно

x^// = - (g/L) x.

Таким образом, начиная с того момента, когда поршень был отпущен, вплоть до того момента, когда вся жидкость перетекла в горизонтальную часть трубки, ее движение описывается уравнением гармонических колебаний. Этот процесс длился четверть периода колебаний

τ = ¼ T = ½ π(L/g)^1/2.

8 . В водоеме укреплена вертикальная труба с поршнем так, что нижний ее конец погружен в воду. Поршень, лежавший вначале на поверхности воды, медленно поднимают на высоту Н = 15 м (см. рис.). Какую работу пришлось при этом совершить? Площадь поршня S = 1 дм². Атмосферное давление Р_о = 100 кПа. Массой поршня пренебречь. (Козел, 1.98)

Ответ: А = 10 кДж.

Решение.

Вода поднимается за поршнем до высоты h = 10 м. Работа, совершенная при этом

А₁ = ½ ρSh²g.

При дальнейшем движении поршня работа, совершаемая против силы атмосферного давления,

А₂ = P_oS(H – h).

Итак, совершенная при подъеме поршня работа

A = ½ ρSh²g + P_oS(H – h) = 10 кДж.

9. Брусок массы m удерживается в воздухе n струями воды, бьющими вертикально вверх из отверстий, имеющих сечение S_o . Скорость на выходе из отверстий равна v_o . Достигая бруска, вода разлетается от него в горизонтальной плоскости. На какой высоте над отверстиями удерживается брусок? Плотность воды равна ρ. (Меледин , 1.178)

Ответ: h = {v_o² – [mg/(nρv_oS_o)]²}/(2g).

Решение.

Сила давления на брусок одной струи

F = Δp/Δt = ρv²S.

Тогда

mg = n ρv²S = n ρvv_oS_o.

Так как из условия неразрывности струи следует, что

vS = v_oS_o.

Наконец, из кинематических соображений имеем

v² = v_o² – 2gh.

Решая совместно эти уравнения, получаем

h = {v_o² – [mg/ (nρv_oS_o)]²}/(2g).

1 0. В вертикальной трубе радиуса R , заполненной жидкостью плотности ρ₁, вдоль оси трубы всплывает круглый стержень радиуса r и длины L, причем L >> R (см. рис.). Плотность стержня ρ₂ < ρ₁ . Пренебрегая концевыми эффектами и трением, найти скорость и ускорение стержня в зависимости от пройденного расстояния h , если в начальный момент он покоился. (Меледин , 1.179^*)

Ответ: v = {2gh(1 - ρ₂/ρ₁)/[ρ₂/ρ₁+ r²/(R² - r²)]}^1/2, a = g(1 - ρ₂/ρ₁)/[ρ₂/ρ₁+ r²/(R² - r²)].

Решение.

Если стержень движется со скорость v, то, так как жидкость несжимаема, она должна протекать в противоположную сторону между стержнем и стенками трубы со скоростью u, причем S₁v = S₂u, т.е.

πr²v = π(R² - r²) u;

отсюда

u = v r²/ (R² - r²).

Скорость жидкости u предполагается одинаковой всюду, кроме небольших участков около торцов стержня. Однако, если длина цилиндра L >> r, то вкладом этих участков в энергию системы можно пренебречь. Из закона сохранения при подъеме стержня на высоту h следует

½ ρ₂πr²v²L + ½ ρ₁π(R² - r²)u²L = (ρ₁ - ρ₂)π r²Lgh.

Таким образом,

v = {2gh (1 - ρ₂/ρ₁)/ [ ρ₂/ρ₁+ r²/ (R² - r²)]}^1/2,

a = ½ v²/h = g (1 - ρ₂/ρ₁)/ [ ρ₂/ρ₁+ r²/ (R² - r²)].

11. В короткой трубке переменного сечения поддерживается неизменное во времени течение вязкой несжимаемой жидкости плотности ρ. В сечениях I и II , площади которых равны S₁ и S₂ соответственно, скорость жидкости можно считать постоянной по сечению. Найти силу, с которой жидкость действует на участок трубы между сечениями I и II , и количество теплоты, которое выделяется в единицу времени в объеме трубы между этими сечениями. Давление и скорость жидкости в сечении I равны P₁ и v₁; в сечении II давление равно Р₂. (Меледин, 1.180^*)

Ответ: F = S₂P₂ - S₁P₁ - ρS₁v₁²(1 – S₁/S₂), ΔQ/Δt = S₁v₁[(P₁ - P₂) + ½ ρv₁²(1 – S₁²/S₂²).