Решение.

Если поршень перемещается со скоростью v , скорость струи (из-за несжимаемости воды) u = v(D/d)².

Так как трением можно пренебречь, для воды в цилиндре справедливо уравнение Бернулли:

P_o + F/S + ½ ρv² = P_o + ½ ρu²,

где Р_о – атмосферное давление, ρ – плотность воды, а S = ¼ πd². Из этих соотношений находим

v = (2d²/D) {2F/ [πρ(D⁴ – d⁴)]}^1/2.

5 . На тележке стоит сосуд с высокими стенками и квадратным дном, имеющим сторону L . Нижнее ребро O сосуда шарнирно закреплено. В сосуд налита жидкость до уровня h > ½ L. Тележку тянут с ускорением а, придерживая сосуд. Когда поверхность жидкости успокаивается, сосуд отпускают. При какой минимальной высоте h уровня жидкости сосуд опрокинется? Массой сосуда пренебречь. (Меледин, 1.143)

Ответ: h = ½ L{(a/g) + (g/a) + [(a²/g²) + (4/3)(1 - (a²/g²))]^1/2} ≈ La/g при a << g.

Решение.

П усть точка С – центр масс ускоренной жидкости. Поверхность жидкости уже не горизонтальна, перпендикуляр к этой поверхности направлен вдоль вектора - а + g, направление которого совпадает с направлением результирующей силы, приложенной к центру масс. Если линия действия этой силы пройдет мимо площади опоры, то система перевернется. Критическим условием является прохождение линии действия результирующей силы чрез шарнир, т.е. точку О (см. рис.). Обозначив через х_С горизонтальную координату центра масс, а через y_C – вертикальную, получаем условие

a/g = x_C/y_C.

Центр масс трапеции можно найти, например, через центр масс треугольника и прямоугольника:

x_C = {(L/3)(L/2)(a/g)L + (L/2)[h – La/(2g)]}/(hL) = L/2 – L²a/(12hg),

y_C = {(L/3) (a/g) (L/2L)(a/g) + ½ [h – La/(2g)] [h – La/(2g)]L}/(hL) =

h/2 – La/(2g) + 7L²a²/(24hg²).

Подставляя в вышеприведенное условие найденные значения x_C и y_C, имеем

h² – L[(a/g) + (g/a)]h + (L²/6)[1 + (7/2)(a²/g²)] = 0;

Отсюда, с учетом условий, а < g и h > ½ L, однозначно получаем

h = ½ L {(a/g) + (g/a) + [(a²/g²) + (4/3) (1 - (a²/g²)]^1/2} ≈ La/g при a << g.

6. Поршень вытесняет воду из вертикального цилиндрического сосуда через малое отверстие, находящееся у дна сосуда и имеющее площадь S_o. Высота сосуда равна h , площадь основания - S . Какую работу совершает поршень, если он движется с постоянной скоростью v? Учесть действие силы тяжести. (Меледин, 1.145)

Ответ: A = ρS(h/2)[(vS/S_o)² – gh]

Решение.

Используя закон сохранения энергии и условие несжимаемости жидкости, получаем

W_П = ρgSh (h/2) = ½ ρgSh²,

u = vS/S_o,

W_K = ½ mv² = ρS (h/2) (vS/S_o)²,

где ρ – плотность воды, u – скорость истечения воды. Тогда

A = W_K - W_П = ρS (h/2) [(vS/S_o)² – gh]

для v > (S_o/S)(2gh)^1/2 ,

при v < (S_o/S)(2gh)^1/2 происходит отрыв воды от поршня.

7 . Идеальная жидкость, налитая в вертикальное колено узкой изогнутой под прямым углом трубки, удерживается легким поршнем П, находящимся в самом начале горизонтального участка трубки (см. рис.). После освобождения поршня через некоторый промежуток времени вся жидкость оказалась в горизонтальном колене. Пренебрегая трением, найти этот промежуток времени, если первоначальная высота столба жидкости была равна L. (МГУ, физ. фак.,2001)

Ответ: τ = ¼ T = ½ π(L/g)^1/2.