Решение

При движении по поверхности сферы время достижения точки В

t₁ = Т/4 = (1/4)2π(R/g)^1/2,

где Т – период колебаний маятника длиной R, g – ускорение свободного падения. При движении по наклонной плоскости

t₂ = [2^.2Rsinα/ (gsinα)]^1/2 = 2 (R/g)^1/2 > t₁.

Здесь α – угол наклона плоскости.

11. Часы с секундным маятником, имеющие период колебаний Т_о = 1с, на поверхности Земли идут точно. На сколько будут отставать эти часы за сутки, если их поднять на высоту h = 200м над поверхностью Земли?

Ответ: Δt = 2.7с.

Решение.

На поверхности Земли маятник длины l за время t совершит

n = t / T_o

колебаний, причем

Т_о = 2π(l/g_o)^1/2,

где g_o – ускорение свободного падения на поверхности Земли. На высоте h над Землей часы отстанут на время

Δt = n(T – T_o),

где Т = 2π(l/g)^1/2 – период колебаний маятника на высоте h, а g – ускорение свободного падения на этой высоте. Используя формулу

mg = mg_o/[1 + (h/R_з)]² ,

связывающую силу тяжести mg на высоте h с силой тяжести на поверхности Земли mg_o, найдем

g/g_o = 1/[1 + (h/R_з)]² ,

где R_з – радиус Земли. Отношение периодов

Т_о/Т = (g/g_o)^1/2 = 1/[1 + (h/R_з)];

отсюда

Т – Т_о = Т_о(h/R_з).

Таким образом, за время t часы отстанут на время

Δt = T_on(h/R_з) = t(h/R_з).

При t = 1 сут = 86400с отставание составит Δt = 2.7с

12. Тело массы m, движущееся со скоростью v по гладкой горизонтальной плоскости, налетает на пружину жесткости k, прикрепленную к телу массы М. Тело массы М в начальный момент покоится, а пружина находится в недеформированном состоянии. Найти время взаимодействия тел. (МФТИ, 2000 г., олимпиада)

Ответ: τ = π[mM/k(m+M)]^1/2.

Решение

Взаимодействие начнется в момент соприкосновения тела m с пружиной. Движение тел можно разложить на движение центра масс и колебание относительно центра масс. Скорость центра масс

v_c = mv/(m + m).

Тогда скорости тел относительно системы центра масс:

u_m = v – v_c = Mv/(m + m), u_M = - mv/(m + m).

периоды колебаний относительно центра масс должны быть одинаковыми, поскольку координата ц.м. в системе ц.м. не меняется, и, т.о. тела движутся в противофазе. Взаимодействие тел прекратится после того, как пружина вернется в недеформированное состояние, а тело m приобретет максимальную скорость, направленную от центра масс, т.е. взаимодействие будет продолжаться половину периода колебаний. Сжатие пружины складывается из смещения х_m тела m и смещения х_M тела М: х = х_m + х_M. В силу неизменности координаты центра масс:

mх_m = Mх_M,

т.е.

х_M = (m/M)х_m.

Тогда силу, действующую на тело m можно записать, как

F = - k(х_m + х_M) = - (m + M)kх_m/M.

Таким образом, получаем уравнение гармонических колебаний

mx_m^// + (m + M) kх_m/M.

Частота колебаний ω = [k(m+M)/mM)]^1/2. Период T = 2π[mM/k(m+M)]^1/2. Время взаимодействия τ = π[mM/k(m+M)]^1/2.

13. Предположим, что между Калининградской и Московской областями прорыт прямолинейный железнодорожный тоннель длиной L = 1000 км. Вагон ставят на рельсы в начале тоннеля в Московской области и отпускают без начальной скорости. 1) Через какое время вагон достигнет Калининградской области? 2) Найдите максимальную скорость вагона. Землю считать шаром радиусом R = 6400 км с одинаковой плотностью по всему объему. Вращение Земли, сопротивление воздуха и все виды трения при движении не учитывать. (МФТИ, 2003)

Ответ: τ ≈ 42 мин, v_max ≈ 0.6 км/с.