Решение.

При движении груза сила натяжения нити будет действовать на стержень, что приведет к движению бруска. В результате точка подвеса будет двигать с некоторым ускорением. Поэтому применять формулу

T = 2π(L/g)^1/2

для периода колебаний математического маятника нельзя. Для решения задачи воспользуемся выражением максимальной скорости тела, совершающего колебания с частотой ω_о = 2π/T:

v_max = Aω_о,

где A = αL – амплитуда колебаний ( α – максимальный угол отклонения). Следовательно,

v_max =2παL /T, T = 2παL/ v_max.

Так как скорость груза максимальна при прохождении положения равновесия, а система “груз-брусок” замкнута в горизонтальном направлении, то законы сохранения импульса и энергии можно записать в виде

m v_max = Mu,

mgL(1 - cosα) = ½ m v²_max + ½ Mu².

Откуда получим

v_max = [2MgL(1 - cosα)/(M +m)]^1/2 = [4MgLsin²(α/2)/(M +m)]^1/2 =

= 2sin(α/2)[MgL/(M +m)]^1/2.

Поскольку угол α мал, то 2sin(α/2) ~ α . Следовательно,

T = 2π[(M + m)L/gM)^1/2 .

Если масса бруска M >> m , то это выражение совпадает с выражением для периода колебаний математического маятника.

5. Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал частоты ν = 50 Гц, распространяющийся со скоростью v = 340м/с. При этом на расстоянии от А до В укладывается целое число волн. Опыт повторили, когда температура воздуха была на Δθ = 20К выше, чем в первом случае. При этом число волн, укладывающихся на расстоянии от А до В, уменьшилось на две. Найти расстояние l между пунктами А и В, если при повышении температуры воздуха на 1 K скорость звука увеличивается на 0.5 м/с.

Ответ: l = 450м.

Решение.

Длина волны в первом опыте

λ = l/n,

где n – целое число длин волн, укладывающихся на расстоянии l. Во втором опыте

λ_Δθ = l/(n – 2).

До повышения температуры скорость звука была равна

v = νλ = νl/n,

а после повышения

v_Δθ = νλ_Δθ = νl/ (n – 2).

Так как n = νl/v, то

v_Δθ = νvl/(vl – 2v).

Скорость звука возрастает по линейному закону

v_Δθ = v( 1 + αΔθ) ,

где α = (0.5/340)K^-1. Подставляя в данное выражение v_Δθ , получим

l = 2v( 1 + αΔθ)/(ν αΔθ) ~ 450м.

6. Скорость реактивного самолета в два раза превышает скорость звука. Человек увидел самолет, когда тот находился над ним на высоте h = 5км. Через какое время после этого человек услышал хлопок. Скорость звука в воздухе 340 м/с.

Ответ: Δt = 12.7 с.

Решение.

Н аблюдатель в точке А услышит звук, когда точки достигнет поверхность звукового конуса, который самолет “тащит” за собой. К этому моменту самолет окажется в точке В (см. рис.). Звуковая волна распространяется перпендикулярно поверхности звукового конуса и поэтому звуковой хлопок, который услышал человек, «родился» в точке D, а не в точке С. Очевидно,

АD = h/cosα,

где

sinα = DA/DB = C_зв/v_сам = 0.5.

Тогда искомое время

Δt = t_AD - t_DC = AD/v_зв – DC/v_сам =

h/(v_звcosα) – htgα/v_сам = (h/v_зв)(1/cosα – ½ tgα) = 12.7 с.

7. К стенке, наклоненной под углом α к вертикали, подвешен маятник длины l (см. рис.). Маятник отклонили в плоскости, перпендикулярной к стенке, на небольшой угол β от вертикального положения и отпустили. Найти период колебаний маятника, если α < β и удар шарика о стенку – абсолютно упругий. (Слободецкий, 142).