Решение.

Полная скорость v катера относительно берегов определяется законом сложения скоростей

v = v₁ + v₂.

У добно выполнить сложение векторов v₁ и v₂ по правилу треугольника (см. рис.): первым изображаем вектор v₁, для которого известны и модуль и направление, затем к его концу приставляем начало вектора v₂, для которого известен только модуль, а направление еще предстоит выбрать. Этот выбор нужно сделать так, чтобы вектор результирующей скорости v как можно меньше отклонялся от направления АВ поперек реки.

Конец вектора v₂ при любом его направлении должен лежать на окружности радиуса v₂ , центр которой совпадает с концом вектора v₁. Так как по условию задачи v₂ < v₁, то точка А^/, соответствующая началу вектора v₁, лежит вне этой окружности. Из рисунка видно, что вектор v образует с прямой АВ наименьший угол тогда, когда он направлен по касательной к окружности. Следовательно, вектор v₂ перпендикулярен вектору v, а треугольник скоростей – прямоугольный.

Таким образом, для переправы с минимальным сносом нос катера следует направлять вверх по течению к линии АВ. Синус этого угла дается выражением

sin α = v₂/v₁.

Траектория катера направлена вдоль вектора v, т.е. она перпендикулярна направлению, в котором смотрит нос катера. Это означает, что по своей траектории катер движется боком. На другом берегу катер причалит в точке С, расстояние до которой можно найти из подобия треугольников

s_min/h = v/v₂.

Для модуля скорости можно получить

v = ( v₁² – v₂²)^1/2.

В результате получаем

s_min = h [(v₁/v₂)² – 1]^1/2.

2 . Два автомобиля двигались с постоянными скоростями v₁ и v₂ по дорогам, пересекающимся под прямым углом (см. рис.). Когда первый из них достиг перекрестка, второму оставалось проехать до этого места расстояние s. Спустя какое время t расстояние между автомобилями будет наименьшим? Чему равно это расстояние d_min?

Ответ: t = v₂/(v₁² + v₂²); d_min = sv_1`/(v₁² + v₂²)^1/2.

Решение.

1-й способ. Определим расстояние между автомобилями через время t после прохождения первым автомобилем перекрестка. Это расстояние (см. рис.) составит

d (t) = [(v₁t)² + (s – v₂t)²]^1/2.

Минимальное значение функции d(t) можно определить, вычислив производную d^/(t) и приравняв ее нулю.

2 -й способ. Задачу несколько усложняет одновременное движение обоих автомобилей. Поэтому можно упростить решение, связав систему отсчета с одним из них. Свяжем систему отсчета с первым автомобилем. В ней

u₁ = 0, u₂ = v₂ – v₁.

(см. рис.) Очевидно, траектория движения второго автомобиля в этой системе отсчета представляет собой прямую ВС, а минимальное расстояние d_min – длину перпендикуляра AD к этой прямой. Из подобия треугольника скоростей и треугольника ABD следует:

d_min/s = v₁/u₂,

BD/s = v₂/u₂.

Отсюда

d_min = sv₁/u₂ = sv_1`/(v₁² + v₂²)^1/2 ;

t = BD/u₂ = sv₂/u₂ = v₂/(v₁² + v₂²).

3. Самолет летит горизонтально со скоростью v = 470 м/с. Человек услышал звук самолета через время t = 21 с после того, как самолет пролетел над ним. На какой высоте летит самолет? Скорость звука с = 330 м/с.

Ответ: Н = 10 км.