Решение.

Пусть высота лунки равна d . тогда объем воды в лунке ½ d³, объем отливки ½ d³. Толщина слоя воды после вынимания отливки ½ d. Центр тяжести воды опустится на ¼ d. Центр отливки при вынимании ее из воды поднимется на ½ d. Следовательно

А₂ = (ρ_o ½ d³)g ½ d - (ρ_B ½ d³)g ¼ d.

При поднятии над лункой

А₂ = (ρ_o ½ d³)gd - (ρ_B ½ d³)g ¼ d.

Тогда

А₁ – А₂ = ¼ ρ_o d⁴g,

А₁ – 2А₂ = 1/8ρ_B d⁴g,

(А₁ – А₂)/(А₁ – 2А₂) = 2 ρ_o/ρ_B,

откуда

ρ_o = ½ ρ_B(А₁ – А₂ )/ (А₁ – 2А₂) = 2.7 г/см³,

d = [8(А₁ – 2А₂)/g ρ_B]^1/4 = 0.2 м.

4. В сосуде имеются две несмешивающиеся жидкости с плотностями ρ₁ и ρ₂; толщины слоев этих жидкостей равны h₁ и h₂ соответственно. С поверхности жидкости в сосуд опускают маленькое тело, которое достигает дна как раз в тот момент, когда его скорость становится равной нулю. Какова плотность материала, из которого сделано это тело?

Ответ: ρ = (ρ₁h₁ + ρ₂h₂)/(h₁ + h₂).

Решение.

Изменение потенциальной энергии тела равно работе сил сопротивления:

- mg(h₁ + h₂) = A₁ + A₂ ,

где А₁ и А₂ – работы сил сопротивления в верхней и нижней жидкостях, соответственно. Так как тело обтекаемо, то основной силой сопротивления является Архимедова выталкивающая сила:

F₁ = ρ₁Vg - в верхней жидкости,

F₂ = ρ₂Vg - в нижней жидкости,

где V – объем тела. Поэтому

А₁ = - ρ₁Vgh₁,

А₂ = - ρ₂Vgh_2.

Подставляя эти выражения для А₁ и А₂ в первое уравнение и учитывая, что

m = ρV,

получим:

ρ(h₁ + h₂) = ρ₁h₁ + ρ₂h₂ ,

откуда

ρ = (ρ₁h₁ + ρ₂h₂)/(h₁ + h₂).

5 . На горизонтальной плоскости лежат два связанных нитью бруска массы m , между которыми зажата пружина, нескрепленная с брусками (см. рис.). Длина свободной пружины ℓ₀ , коэффициент жесткости k . Нить пережигают и бруски разъезжаются. Какой длины ℓ должна быть нитка, чтобы к моменту остановки брусков пружина оказалась в недеформированном состоянии, если коэффициент трения между брусками и плоскостью μ?

Ответ: ℓ = ℓ₀ - 2 μvg/k .

Решение.

Потенциальная энергия сжатой пружины

W = ½ k(Δl)² ( где Δl = l_o – l)

должна быть не меньше, чем работа против сил трения, совершенная к моменту возвращения пружины в недеформированное состояние.

½ k(Δl)² ≥ μmg Δl → Δl ≥ 2μmg/k,

l ≤ l_o - 2μmg/k

6. Из колодца, на ¾ наполненного водой, насосом откачали воду. Глубина колодца h = 20м, площадь поперечного сечения S = 1м². Продолжительность откачки t =30мин, площадь поперечного сечения трубы s = 25см². Определить мощность насоса. Плотность воды ρ_в =1г/см³.

Ответ: Р = 571Вт.

Решение.

В предположении, что трение отсутствует работа, совершенная насосом равна изменению механической энергии системы

A = ΔW.

Условимся отсчитывать потенциальную энергию относительно дна колодца, тогда

ΔW = ½ mv² + mgh – ½ [mg(3/4)h.

Масса, выкаченной воды

m = ρ_вS(3h/4),

ее скорость на поверхности определяется из условия, что за время t вся вода из колодца выкачена

S(3h/4) = svt,

Отсюда

v = S(3h/4)/st.

Решая полученные уравнения, для работы насоса получим

A = ρ_в [(3Sh/4)³/(ts)² + 15Sgh²/32].

Тогда для мощности насоса получим

P = A/t = ρ_в [(3Sh/4)³/(ts)² + 15Sgh²/32]/t = 571 Вт.