3.1. Импульс.

1. В начальный момент времени ракета массы М имела скорость v_o . В конце каждой секунды из ракеты выбрасывается порция газа массы m. Скорость порции газа отличается от скорости ракеты до сгорания этой порции газа на постоянную величину u, т.е. скорость истечения газа относительно ракеты постоянна. Пренебрегая действием силы тяжести, определить скорость ракеты через n секунд. Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если скорость истечения газа относительно ракеты меньше скорости самой ракеты, т.е. вытекающий из сопла ракеты газ летит вслед за ракетой?

Ответ: v_n = v_o + u[m/(M – m) + m/(M – 2m) +… + m/(M – nm)].

Решение.

Обозначим через v_k скорость ракеты в конце k-ой секунды. В конце (k + 1)-й секунды из ракеты выбрасывается порция газа массы m , который уносит с собой импульс, равный

m(-u + v_k).

Из закона сохранения импульса следует, что

( M – km)v_k = [M – (k +1)m]v_k+1 + m(-u + v_k).

Изменение скорости ракеты за одну секунду

v_k+1 - v_k = mu/ [M – (k + 1)m].

Зная изменение скорости за одну секунду, можно написать выражение для скорости в конце n-ой секунды:

v_n = v_o + u[m/(M – m) + m/(M – 2m) +… + m/(M – nm)].

Скорость ракеты будет увеличиваться. Это становится очевидным, если перейти в систему отсчета, относительно которой ракета в данный момент покоится. Давление вытекающих газов будет толкать ракету вперед.

2. С концов неподвижной платформы длины L = 9.2 м бегут навстречу друг другу взрослый и ребенок. Определить, на сколько откатится платформа, когда взрослый добежит с одного конца платформы до другого. Известно, что взрослый бежит в два раза быстрее, чем ребенок. Масса платформы m₁ = 600 кг, масса взрослого m₂ = 60 кг, масса ребенка m₃ = 30 кг.

Ответ: s = 0.6 м.

Решение.

Примем за начало координат ту точку, откуда начал двигаться взрослый. Тогда начальная координата центра масс

x₁ = ( ½ m₁L + m₃L)/(m₁ + m₂ + m₃) .

Обозначим через x₂ координату центра масс в момент, когда взрослый добегает до края платформы. Тогда

x₂ = [m₁( ½L – s) + m₂ (L – s) + m₃( ½L – s)]/(m₁ + m₂ + m₃) ,

где s – перемещение платформы. Так как в горизонтальном направлении система взрослый- ребенок-платформа замкнута, то x₁ = x₂. Из этого равенства находим s:

s = ½ L (2m₂ – m₃)/ (m₁ + m₂ + m₃).

При заданных числовых значениях это дает s = 0.6 м.

3. Две лодки одинаковой массы идут параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v_о. Когда лодки встречаются, с одной лодки на другую перебрасывают груз, а затем со второй лодки на первую перебрасывают такой же груз. В другой раз грузы перекидывают из лодки в лодку одновременно. В каком случае скорость лодок после перебрасывания грузов будет больше? (Буховцев, 1987,№ 110)

Ответ: Δv = 2m²v_o/[(M + m)(M = 2m)]- конечная скорость лодок в первом случае будет больше

Решение.

Пусть масса лодки равна М, масса груза – m, начальная скорость лодок – v_o. При выбрасывании груза с лодки на лодку действует некоторая сила в направлении перпендикулярном v_o. Однако изменения импульса лодки не происходит, т.к. сила сопротивления воды препятствует поперечному движению лодок. Импульс лодки изменяется только при попадании в нее груза. Применяя закон сохранения импульса к системе ‘груз-лодка’, в первом случае можно записать

(M + m)v_o – mv_o = (M + 2m)v₁, (для первой лодки)

-Mv_o + mv₁ = (M + m)v₂ (для второй).

Здесь v₁ и v₂ – конечные скорости лодок. Из данной системы уравнений имеем

v₁ = - v₂ = v_oM/ (M + 2m).

В случае, когда грузы перебрасываются одновременно, конечные скорости определяются из уравнений

Mv_o – mv_o = (M + m)v₁ ,

- Mv_o + mv_o = (M + m)v₂.

Отсюда

v₁ = - v₂ = v_o (M – m)/(M + m).

Таким образом, конечная скорость лодок в первом случае будет больше.

Δv₁ = 2m²v_o/[(M + m)(M = 2m)].

4. Человек массы m прыгает с берега в лодку, стоящую в неподвижной воде. Его скорость горизонтальна, равна по модулю v_o и направлена вдоль лодки. На какое расстояние переместится лодка? Сила трения лодки о воду пропорциональна скорости лодки, коэффициент пропорциональности равен k. (МФТИ-79)

Ответ: s = mv_o/k.