Решение:

Ц илиндр не опрокинется, если момент его силы тяжести относительно точки О (см. рис.) не меньше опрокидывающего момента сил F₁^/ и F₂^/ давления шаров на цилиндр:

F₁^/ АО – F₂^/ В₁О ≤ MgR

Эти силы в соответствии с третьим законом Ньютона равны по величине силам F₁ и F₂ , действующим на шары. На верхний шар, кроме силы F₁ , действует сила тяжести и сила реакции нижнего шара N₁, направленная вдоль линии центров. Силы, действующие на нижний шар, показаны на рисунке. Из условия равновесия находим, что

F₁ = F₂ = mgtgα.

Учитывая, что

АО – В₁О = 2 (R – r)ctgα ,

находим, что

M ≥ 2m(1 – r/R).

7 . Тяжелый брусок удерживается силой трения между двумя горизонтальными стержнями А и В (см. рис.). Каково должно быть расстояние от центра тяжести бруска до точки соприкосновения со стержнем А, чтобы он не мог выскользнуть из своих опор? Расстояние L и коэффициент трения k заданы. (Гольдфарб , №8.44)

Ответ: x ≥ ½ L(tgα /k –1).

Решение.

Брусок не будет соскальзывать, если составляющая силы тяжести вдоль бруска не будет превышать максимальную силу трения

Mgsinα ≤ F_{тр.макс} = N_Ak + N_Bk.

Силы давления N_A и N_B стержней на брусок находятся из условия равенства нулю суммы моментов сил относительно точек А и В соответственно:

Mgxcosα – N_BL = 0;

Mg (L + x)cosα – N_AL = 0.

С учетом этого найдем, что брусок не будет проскальзывать, если

x ≥ ½ L ( tgα /k –1).

III. Законы Сохранения.

3.1. Импульс.

1. В каких случаях можно пользоваться законом сохранения импульса?

Ответ. Законом сохранения импульса можно пользоваться: 1) в случаях, когда векторная сумма внешних сил, действующих на систему равна нулю и 2) при быстрых воздействиях (взрывах, ударах), если внешние силы ограничены по величине.

2. За счет какой энергии поднимаются вверх стратостаты шар – зонды?

Ответ. За счет потенциальной энергии воздуха. При подъеме шара его потенциальная энергия увеличивается, однако на занимаемое им место опускается воздух, плотность которого больше средней плотности шара.

3. Как объяснить тот факт, что при падении камня на Землю изменение импульса Земли равно изменению импульса камня, а изменение кинетической энергии Земли настолько мало, что его можно не учитывать.

Ответ. Изменение импульса тела равно импульсу силы тяжести. Так как силы, действующие на камень и Землю, равны и действуют одинаковое время, то равны и изменения импульсов этих тел. Изменение кинетической энергии тела равно работе сил тяготения. Силы равны, но пути, пройденные камнем и Землей, обратно пропорциональны их массам. Поэтому закон сохранения энергии можно записать в форме, не учитывающей изменения кинетической энергии Земли.

4. Как должна измениться мощность насоса, чтобы он стал перегонять через узкое отверстие вдвое большее количество воды в единицу времени?

Ответ. Для того чтобы прогнать за единицу времени вдвое большее количество воды, нужно сообщить вдвое большей массе вдвое большую скорость (работа насоса идет на сообщение воде кинетической энергии ½ mv²). Поэтому мощность насоса должна быть увеличена в восемь раз.

5 . Несколько одинаковых упругих шаров подвешены рядом на нитях равной длины таким образом, что расстояние между соседними шарами очень малы (см. рис.). Как будут вести себя шары, если отклонить крайний шар и отпустить, отклонить одновременно два шара, три шара и т.д.?

Ответ. Если отклонить один правый шар, то после удара отскочит крайний левый шар на угол, равный углу отклонения правого шара. Если отклонить одновременно два шара и отпустить их, то после удара отскочат два крайних шара и т.д. Произойдет обмен скоростями при каждом соударении. При одновременном отклонении нескольких шаров они передают свой импульс цепочки не одновременно, а по очереди через очень малый (неуловимый на глаз) промежуток времени.

6 . На плоскости лежат в ряд (с небольшими промежутками) шарики одинакового размера (см. рис.). Один из средних шаров сделан из стали, а остальные – из слоновой кости (стальной шар тяжелее костяного). На шарики справа вдоль линии центров налетает костяной шар. Как будут двигаться шары после удара?

Ответ. Ударяющий шар отскочит назад, шары, находящиеся между стальным и ударяющим, останутся неподвижными. Стальной шарик и все последующие начнут двигаться влево, причем скорости их будут различны. Наиболее быстро будет двигаться крайний левый шар. Следующий будет двигаться медленнее и т.д. Шарики разойдутся.

7. На какую высоту подпрыгнул бы космонавт на сферическом астероиде радиуса R = 5.5 км со средней плотностью вещества ρ = 5.5 г/см³, если бы при отталкивании он получил ту же самую начальную скорость, которая необходима для подпрыгивания на Земле на высоту h = 2 см? Ответ: Н = 23 м.

Ответ. Поскольку масса космонавта во много раз меньше массы астероида, пренебрегая влиянием всех тел на движение астероида и Земли, системы отсчета связанные с астероидом и Землей, можно считать инерциальными. Тогда, учитывая, что в обоих случаях космонавт при отталкивании должен получить одинаковые скорости, соотношение между максимальными высотами h и H, на которые подпрыгнет космонавт на Земле и астероиде, найдем, сравнивая работы космонавта против сил тяжести в указанных случаях. Полагая, что и на астероиде космонавт подпрыгнет на высоту значительно меньшую радиуса астероида, можно считать, что и здесь космонавт движется в однородном поле силы тяжести, причем ускорение свободного падения равно

g_A = 4πGRρ/3,

где G = 6.67^.10^-11 Нм²/кг² – гравитационная постоянная. Поэтому

mgh = mg_AH.

Следовательно,

H = 3gh/(4πGRρ) ~ 23 м.

Полученное значение H << R, что и оправдывает сделанное выше предположение.

ЗАДАЧИ: