Решение.

Условие поворота

Мg(L – d)²/(2L) ≤ Мgd²/(2L) + Td,

где сила Т определяется из второго закона Ньютона для вращательного движения: mv²/s = T – mg,

mgs (1 – cosα) = ½ mv².

Таким образом,

1 ≥ cosα ≥ 3/2 – ½ (M/m) [½ (L/d) –1].

4 . Полушар и цилиндр, изготовленные из одного материала, соединены, как показано на рисунке, и располагаются на горизонтальной плоскости, имея с ней одну точку касания. При какой высоте цилиндра h эта система тел будет находиться в состоянии безразличного равновесия, если радиусы оснований цилиндра и полушара одинаковы и равны R?. Указание: центр масс полушара находится на оси симметрии на расстоянии (3/8)R от центра окружности, лежащей в основании полушара.

Ответ: h = R/√2.

Решение.

Следует знать, что если при выводе тела из состояния равновесия положение его центра масс не изменяется, и значит, потенциальная энергия остается прежней, то такое равновесие называется безразличным.

Если же при выводе из состояния равновесия центр масс располагается выше, чем был, и, как следствие, потенциальная энергия возрастает, то такое равновесие называется устойчивым. В этом случае тело само вернется в исходное положение, как только на него перестанет действовать внешняя сила, выведшая его из этого положения. Если же по выводе тела из положения равновесия его центр масс понижается, то потенциальная энергия тела уменьшается и тело принимает новое положение (опрокидывается). Такое равновесие называется неустойчивым.

Очевидно, что центр круга О, лежащего в основании шара и цилиндра, не будет изменять своего положения относительно горизонтальной поверхности при любом наклоне этой системы тел. Значит, если центр тяжести этой системы окажется в точке О, система будет находиться в состоянии безразличного равновесия.

Таким образом, задача сводится к определению плеча силы тяжести m₂g, действующей на цилиндр. Это плечо равно половине длины цилиндра h. Таким образом, из равенства моментов сил тяжести, действующих на цилиндр и полушар, найдем высоту цилиндра:

m₁g(3/8)R = m₂g(h/2).

Для масс цилиндра и полушара можно записать

m₁ = ½ ρ(4/3)πR³ , m₂ = ρπR²h.

После несложных вычислений получим

h = R/√2 ≈ 0.7R.

5 . Опирающаяся на доску тяжелая балка может поворачиваться в шарнире А вокруг горизонтальной оси (см. рис.). Какую горизонтальную силу Т нужно приложить к доске, чтобы выдернуть ее вправо? Влево? Известны все величины, указанные на рисунке.

Ответ: T = μ₁Mg + ½ mg (μ₁ + μ) / (1 ± μctgα), если μctgα < 1.

Решение.

Условие равновесия моментов относительно оси А действующих на балку сил имеет вид

½ mgsinα – Nsinα ± F_трcosα,

где N – нормальная сила реакции доски на балку, F_тр – сила трения со стороны доски, m – масса балки. Знак плюс соответствует движению доски влево, знак минус – вправо. На основании второго закона Ньютона в этом случае имеем

T – F_тр – F_тр1 = 0,

N₁ – Mg – N = 0,

где F_тр1 – сила трения доски о пол, М – масса доски, N₁ – сила нормальной реакции со стороны пола на доску. Вид последних двух уравнений не зависит от того, в какую сторону движется доска. На основании закона Кулона – Амонтона

F_тр = μN, F_тр1 = μ₁N₁.

Отсюда получаем

N = ½ mgsinα/ ( sinα ± μcosα).

Тогда для силы Т получим

T = μ₁Mg + ½ mg (μ₁ + μ) / (1 ± μctgα), если μctgα < 1.

При μctgα ≥ 1 доску вытащить вправо не удается. Попробуем объяснить “на пальцах” почему во втором случае происходит “заклинивание”, т.е. неограниченное возрастание силы трения при стремлении μctgα к единице со стороны меньших значений. Сравним значения силы Т, необходимой для вытягивания доски в первом и во втором случаях. Во втором случае, как видно из формулы, нужна большая сила. Почему? Момент силы трения F_тр относительно оси в этом случае направлен так, что приводит к увеличению силы N и, как следствие из этого, к увеличению самой трения F_тр. Сила трения как бы увеличивает сама себя.

6 . Два одинаковых шара радиусом r и массой m каждый положены в вертикальный открытый с обеих сторон полый цилиндр радиусом R (r > ½ R). Вся система находится на горизонтальной плоскости. Какой должна быть минимальная масса полого цилиндра, чтобы шары не могли его опрокинуть? (Гольдфарб, № 8.39)

Ответ: M ≥ 2m (1 – r/R).