Решение.

Разложим силу тяги F двигателя на составляющую F_|| , лежащую в плоскости окружности, описываемой при движении спутником, и составляющую F_⊥ , перпендикулярную этой плоскости. Сила гравитационного притяжения Земли, действующая на спутник на расстоянии r = h + R_З ,

F_гр = mg (R_З/r)².

Второй закон Ньютона для спутника в проекциях на выбранные направления дает

F_⊥- F_гр sinα = 0,

F_гр cosα - F_|| = mv²/ (rcosα).

Из условия, что период обращения

T = 2πrcosα/v = 1 сут,

поэтому

F_|| = F_гр cosα - mv²/(rcosα) = m( g(R_З/r)² - 4π²r/T²) cosα = 0.

Таким образом,

F_⊥ = mg sinα R_З² / (R_З + h)² ≈ 0.02 mg ≈ 200 H.

7. Космический корабль вращается вокруг Луны по круговой орбите радиуса R = 3.4^.10⁶ м. С какой скоростью нужно выбросить из корабля вымпел по касательной к траектории корабля, чтобы он упал на противоположной стороне Луны? Через какое время вымпел упадет на Луну? Принять, что ускорение свободного падения тел вблизи поверхности Луны в 6 раз меньше, чем на Земле. (Всес. Олимп., 1975г, № 232)

Ответ: τ = ½ T ≈ 100 мин.

Решение.

В ымпел, выброшенный из корабля, должен двигаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности Луны (см. рис.). Большая ось этой орбиты равна R + R_Л (R_Л – радиус Луны). Потенциальная энергия вымпела в точках А и В равна

W_A = - GM_Лm/R, W_B = - GM_Лm/R_Л,

где M_Л – масса Луны, m – масса вымпела. Согласно закону сохранения энергии

½ mv_A² - GM_Лm/R = ½ mv_B² - GM_Лm/R_Л,

где v_A ,v_B – скорости вымпела в точках А и В, соответственно. Учитывая, что

GM_Л/R_Л² = g_Л,

получим

½ v_A² - g_Л R_Л² /R = ½ v_B² - g_Л R_Л.

Из второго закона Кеплера радиус-вектор планеты описывает равные площади за одинаковые промежутки времени. Поэтому

½ v_ARΔt = ½ v_BR_ЛΔt, или v_AR = v_BR_Л.

Учитывая, что R = 2 R_Л, находим

v_A = R_Л{2g_Л R_Л/[R(R_Л + R)]}^1/2 = (2g_Л R_Л/3)^1/2.

Для того чтобы определить скорость, с которой нужно выбросить вымпел, еще нужно найти скорость корабля на его круговой орбите:

GM_Лm_K/R_Л² = m_K v_o²/R,

где m_K – масса корабля. Отсюда

v_o = (GM_Л/R)^1/2 = ( ½ g_ЛR_Л)^1/2

Очевидно, что v_А < v_o . Следовательно,

u = v_o – v_А = g_ЛR_Л(1/√2 – 1/√3) ≈ 200 м/с.

С такой скоростью и нужно выбросить вымпел назад, чтобы он упал на противоположную сторону Луны. Для нахождения времени падения вымпела воспользуемся третьим законом Кеплера, согласно которому квадраты периодов обращения относятся как кубы больших полуосей их орбит. Период Т_о обращения корабля (или вымпела) по круговой орбите определяется так:

Т_о = 2π/v_o = 4π(2R_Л/g_Л)^1/2.

Зная Т_о, можно определить период Т обращения вымпела по эллиптической орбите, касающейся поверхности Луны, из третьего закона Кеплера

(Т/Т_о)² = [(R + R_Л)/(2R_Л)]³,

откуда

T = T_o[(R + R_Л)/(2R_Л)]^3/2 ≈ (3/8) √3 T_o ≈ 11,8^.10³ c ≈ 200 мин.

Следовательно, время падения вымпела τ = ½ T ≈ 100 мин.

8. Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли в плоскости орбиты Луны с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения Луны вокруг Земли. Во время движения корабль находится на прямой, соединяющей центры Луны и Земли. Расстояние от корабля до Земли таково, что силы притяжения, действующие на корабль со стороны Земли и Луны, равны друг другу. Работают ли двигатели корабля? Каков вес космонавта, находящегося на корабле? Масса космонавта m = 70кг, период обращения Луны вокруг Земли Т = 27.3 сут. Масса Земли в 81 раз больше массы Луны, а расстояние L от Земли до Луны примерно равно 60 земным радиусам. Радиус Земли R_З принять равным 6400км.

Ответ: Р = 1.8 Н.