Решение.

При движении груза нить будет натянутой и на стержень будет действовать сила натяжения нити Т, которая способна сдвинуть брусок. Для того чтобы брусок сдвинулся с места сила трения покоя F_тр.пок, действующая между бруском и плоскостью, должна стать максимальной:

F_тр.пок = kN.

Запишем второй закон Ньютона для груза в момент времени, когда нить составила угол α с вертикалью, в проекции на нормаль к траектории (на касательную к окружности):

mv²/L = T – mgcosα,

где v – скорость груза в этот момент, которую найдем из закона сохранения энергии

mgLcosα = ½ mv².

Тогда

Т = 3mgcosα.

Из уравнений движения бруска

0 = Tsinα - F_тр.пок,

0 = N – Tcosα – Mg

находим

M = 3m cosα(sinα - kcosα)/k = 37.5 г.

4. Спутник движется по круговой орбите на высоте h₁ = 3R_З от поверхности Земли (R_З - радиус Земли). Как перевести его на круговую орбиту на высоту h₂ = R_З при минимальном времени работы двигателя? Изобразить траекторию спуска. (МАИ,1996)

Решение.

Р ассчитаем скорость спутника при движении по круговой орбите радиусом r. Из уравнения движения получим

mv²_o = GMm/r².

Отсюда

v_o²r =GM.

Здесь G – гравитационная постоянная, М – масса Земли. При уменьшении радиуса круговой орбиты скорость должна возрасти нашем случае в (4R_З/2R_З)^1/2 = √2 раза. Однако если попытаться увеличить скорость спутника, то он с круговой орбиты на эллиптическую орбиту, причем с большим средним расстоянием до Земли (т.е. точка, в которой произойдет увеличение скорости, будет перигеем). Для эллиптической орбиты скорости в апогее и перигее можно найти, используя тот факт, что радиус кривизны эллипса R в этих точках одинаков. Поэтому

mv_п²/R = GMm/r_п², mv_а²/R = GMm/r_а².

Отсюда

v_а r_а = v_п r_п.

Кроме того, должен выполняться закон сохранения энергии

½ mv_п² - GMm/r_п = ½ mv_a² - GMm/r_a.

Отсюда

v_a = [2GM(r_п/r_a)/ (r_п + r_a)]^1/2.

Нам известно расстояние до центра Земли в апогее и перигее: r_п = 2R_З и r_а = 4R_З. Если на исходной орбите уменьшить скорость до v = v_o(2/3)^1/2 , то спутник будет иметь в перигее нужное расстояние до Земли (h = R_З). В этой точке орбиты следует увеличить скорость до величины v_k = v_o√2 . После этого орбита станет круговой с нужным радиусом.

5. По гладкому столу движутся два тела массы m₁ и m₂ , соединенные невесомой нерастяжимой нитью длины L. В некоторый момент времени скорость тела массы m₁ оказалась равной нулю, а скорость тела массы m₂ – равной v и направленной перпендикулярно нити. Найти силу натяжения нити. (НГУ, до 1999г)

Ответ: T = v²m₁m₂/[(m₁ + m₂)L].

Решение.

Можно считать, что тела участвуют в двух движениях: во вращении вокруг центра масс системы и в поступательном движении вместе с центром масс. Положение центра масс относительно тела массы m₁ находим из уравнения

x₁(m₁ + m₂) = Lm₂;

отсюда

x₁ = Lm₂/ (m₁ + m₂).

Второе тело находится на расстоянии

x₂ = L – x₁

от центра масс. Т.к. суммарная скорость тела массы m₁ равна нулю, а скорость тела массы m₂ – равной v , то имеем систему уравнений

v_ц.м + ωx₁ = 0,

v_ц.м + ωx₂ = v,

x₂m₂ = x₁m₁ ,

где ω – угловая скорость вращения, а v_ц.м – скорость центра масс, отсюда

v_ц.м = vm₂/ (m₁ + m₂), ω = - v_ц.м /x₁.

Тогда для силы натяжения имеем

T = m₁ (ω x₁)²/x₁ = v²m₁m₂/ [(m₁ + m₂) L].

6. Известно, что спутник, находящийся на орбите, высота которой над поверхностью Земли h = 3.6^.10⁴ км, совершает оборот вокруг Земли за сутки и может “висеть” над одной и той же точкой экватора. Допустим, что спутник запустили на такую же высоту и он “завис” над Москвой. Какую силу тяги должен развивать двигатель спутника, чтобы удерживать его на заданной орбите? Масса спутника m =1 т, широта Москвы – около 60^о, радиус Земли R_З = 6.4^.10³ км. (НГУ, до 1999г)

Ответ: F ≈ 200 H.