Решение.

П оскольку сопротивлением движению тел можно пренебречь, то реакции опор имеют только нормальные к границам соприкосновения тел составляющие. С учетом этого на рисунке показаны силы, действующие на кубик (сила тяжести m_кg, сила давления бруска N₂ и сила со стороны нити Т), груз (сила тяжести m_гg, сила давления бруска N₁ и сила со стороны нити Т₃) и брусок (сила тяжести Мg, силы давления кубика N_к и груза N_г, сила реакции плоскости N, внешняя сила F и силы со стороны нити Т₁ и Т₂). Пренебрегая массой нити, можно утверждать, что Т = - Т₁ и Т₂ = - Т₃ , причем |Т₁| = |T₂|. Последнее вытекает из условия невесомости блока и отсутствия трения в его оси. Таким образом, Т = Т₁ = Т₂ =Т₃.

Учитывая, что кубик и брусок могут двигаться только параллельно силе F , а груз еще и по вертикали, уравнения движения этих тел в проекциях на оси показанной на рисунке неподвижной относительно плоскости инерциальной системе X0Y можно представить в виде:

m_ка_кх = Т,

Ма_бх = F – T₁ – N_г,

m_га_бх = N₁,

m_га_гy = T₃ – m_гg,

где а_кх и а_бх – проекции ускорений кубика и бруска на ось 0Х, а_гy – проекция ускорения груза на ось 0Y, причем в силу третьего закона Ньютона N_г = N₁ ≥ 0, т.к. груз и брусок должны по условию соприкасаться.

Однако приведенная система уравнений не является полной. Условие нерастяжимости нити дает уравнение кинематической связи а_бх = а_кх + а_гy.

Решения полной системы уравнений можно записать в виде

а_кх = [F + (M + m_г)g]m_г / [(M + m_г)m_г +(M + 2m_г)m_k],

N₁ = [F(m_г + m_к ) - m_г m_kg]m_г / [(M + m_г)m_г +(M + 2m_г)m_k ].

Из последнего выражения следует, что задача имеет решение, если

F ≥ m_гm_kg/(m_г + m_к ),

т.к. в противном случае брусок будет иметь ускорение, направленное против силы F , груз не будет касаться бруска, а нижний отрезок нити не может быть расположен вертикально, что противоречит условию задачи.

4 . В механической системе, изображенной на рисунке, брусок массой М может скользить без трения. В начальный момент, подвешенный на нити, груз отводят на угол α от вертикали и отпускают. Какова масса m этого груза, если угол, образуемый нитью с вертикалью, не меняется при движении системы? ( I Всес. Олимп., 1967г.)

Ответ: m = Msin2α/(2cosα - sin2α).

Решение.

Обозначим через Т модуль силы натяжения нити и через а модуль ускорения бруска. Т.к. угол α при движении системы не меняется, то горизонтальная проекция ускорения тоже равна а. Очевидно, что и проекция ускорения груза на направление нити также равна а ( изменение длины отрезка нити, находящегося за блоком, всегда равна модулю перемещения бруска). Поэтому

mgcosα – T = mа

и

Tsinα = mа,

где m – масса груза. На брусок с блоком в точке А действуют две силы натяжения нити. Поэтому для бруска можно записать следующее уравнение (в проекциях на горизонтальное направление):

T - Tsinα = Mа .

Решая систему полученных уравнений, получаем:

m = Msin2α/ (2cosα - sin2α).

5 . По плоскости с углом наклона к горизонту α (sinα = 1/7) соскальзывает брусок. Коэффициент трения скольжения μ между бруском и плоскостью меняется вдоль плоскости. График зависимости скорости бруска от времени представлен на рисунке. Найти максимальное значение μ. Ответ: μ ~ 0.3.