2.1. Поступательное движение.

1. Шайба, скользившая по гладкому горизонтальному льду, попадает на участок, неравномерно посыпанный мелким песком. Коэффициент шайбы по мере ее удаления x от границы участка возрастает по закону μ = kx. Через какое время шайба остановится после ее попадания на указанный участок? Размеры шайбы значительно меньше пройденного ею пути. (МГУ, физ. фак. , 2000)

Ответ: τ =π /2 .

Решение.

Для нахождения времени движения шайбы до остановки воспользуемся вторым законом Ньютона

m a ( t ) = F( t ) ,

где F(t) - сила трения скольжения, тормозящая движение шайбы, a (t) – ускорение шайбы в момент времени t . Для силы трения, согласно условию задачи, можно записать

F( t ) = - m g k x( t ) .

Здесь знак минус отражает тот факт, что направления силы и перемещения противоположны. Ускорение шайбы запишем как вторую производную от смещения по времени a = x"( t ) . Тогда второй закон Ньютона запишется в виде

x"(t) = - m g k x (t),

или

x"( t ) + m g k x( t ) = 0 .

Полученное уравнение представляет собой уравнение гармонических колебаний с частотой ω = и периодом Т = 2π /ω = 2π /(gk)^1/2.

Время движения шайбы до остановки равно четверти периода колебаний, то есть

τ =π /2(gk)^1/2.

2 . Определить ускорения грузов массы m₁, m₂, m₃, а также силу натяжения нитей в системе блоков с грузами, изображенной на рисунке, если m₁ = m₂ + m₃. Массой нитей и блоков пренебречь.

Ответ: a₁ = (m₂ – m₃)²g/(m₂² + m₃² + 6m₂m₃),

a₂ = (m₁² – 4m₂²)²g/ (m₁² + 4m₂m₃),

a₃ = (m₁² – 4m₃²)²g/ (m₁² + 4m₂m₃),

T =8 m₁m₂m₃g/ (m₁² + 4m₂m₃).

Решение.

У равнения движения грузов имеют вид

m₁a₁ = m₁g – T₁,

m₂a₂ = m₂g – T₂,

m₃a₃ = m₃g – T₃,

где a₁ , a₂ , a₃ – относительно неподвижного верхнего блока А. Будем считать ускорение положительным, если оно направлено вниз. Так как массы нитей ничтожно малы по сравнению массами m₁ , m₂ и m₃, то силы натяжения нитей одинаковы по всей их длине. Отсюда следует, что

Т₂ = Т₃,

и сила, с которой нить, перекинутая через верхний блок, действует на нижний блок В, равна Т₁. Поскольку массы блоков ничтожно малы, то

Т₁ = Т₂ + Т₃.

По прошествии некоторого времени (весьма малого) после начала движения грузов растяжение нитей прекращается, и их длина после этого с течением времени не изменяется. Это означает, что ускорение блока В будет равно - а₁, а ускорения грузов массы m₂ и m₃ относительно блока В равны по модулю и противоположны по направлению. Обозначив а_В ускорение груза массы m₂ относительно блока В, получим a₂ = - a₁ + a_В,

a₃ = - a₁ - a_В,

откуда

a₂ + a₃ = - 2a₁.

Таким образом, окончательно имеем следующую систему уравнений:

m₁a₁ = m₁g – T,

m₂a₂ = m₂g – T/2,

m₃a₃ = m₃g – T/2,

a₂ + a₃ = - 2a₁.

Решая эту систему уравнений, получим (при условии m₁ = m₂ + m₃)

a₁ = (m₂ – m₃)²g/ (m₂² + m₃² + 6m₂m₃),

a₂ = (m₁² – 4m₂²)²g/ (m₁² + 4m₂m₃),

a₃ = (m₁² – 4m₃²)²g/ (m₁² + 4m₂m₃),

T = 8 m₁m₂m₃g/ (m₁² + 4m₂m₃).

В общем случае

T = 8 m₁m₂m₃g/ [m₁(m₁ + m₂) + 4m₂m₃].

3 . На бруске массы М, движущемся поступательно по горизонтальной плоскости, находится кубик массы m_k, скрепленный легкой нитью, перекинутой через невесомый блок, с грузом массы m_г. На брусок действует направленная горизонтально сила, параллельная одному из линейных отрезков нити, как показано на рисунке. Другой прямолинейный отрезок нити вертикален, причем груз касается вертикальной грани бруска. Пренебрегая сопротивлением движению тел, найти величину ускорения кубика.

Ответ: а_кх = [F + (M + m_г)g]m_г / [(M + m_г)m_г +(M + 2m_г)m_k], F ≥ m_гm_kg/(m_г + m_к).