Решение.

Каждый осколок вращавшейся в момент взрыва бомбы за время t удаляется от оси цилиндра в радиальном направлении на расстояние L₁ , в другом, перпендикулярном ему, - на расстояние ωRt. Таким образом, искомое расстояние

L₂ = [(ωRt)² + L₁²]^1/2.

6. Гладкая доска, лежащая на цилиндре, может свободно вращаться вокруг проходящей через ее конец оси, прикрепленной к столу. Ось цилиндра и ось вращения доски параллельны. Найти угловую скорость вращения доски в тот момент, когда цилиндр катится по столу без проскальзывания с угловой скоростью ω, удаляясь от закрепленного конца доски, а доска образует со столом угол α. (МГУ,физ. фак.,2001)

Ответ: Ω = - 2 ω sin² α /2 .

Решение.

О чевидно, что расстояние x между осью вращения доски и точкой касания цилиндра и стола связано с радиусом цилиндра и углом α соотношением:

r / x(t) = tg (α(t) /2). (1)

Дифференцирование этого уравнения по времени приводит к следующему соотношению

-(r/x²)x′ = (1 + tg² α /2) α′/2.

Учитывая, что x′ = v = ωr, а α′ = Ω, где v –скорость цилиндра, а Ω – угловая скорость доски, получим

Ω = -2 ω sin² α /2.

Знак минус показывает, что угол α уменьшается со временем.

Задачу можно решить и, не используя понятие о производной.

По прошествии небольшого промежутка времени Δt ось цилиндра переместится на расстояние Δх = rωΔt , а доска повернется на некоторый угол Δα. Учитывая, что выбранный промежуток времени достаточно мал, можно считать, что угол Δα много меньше одного радиана и вращение доски в течение этого промежутка времени неотличимо от равномерного. Поэтому угловая скорость доски будет равна Ω = Δα/Δt. Уравнение (1) для момента времени t + Δt запишется в виде

[x(t) + Δх]/ r =ctg[(α(t) + Δα)/2]. (2)

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), приведенное к виду (2), получим

ΩrΔt = r{ctg[(α(t) + Δα )/2] - ctg[(α(t)/2}.

Поскольку ctgα – ctgβ = sin(α – β)/(sinα sinβ), а синус малого угла равен самому углу, выраженному в радианах, искомая угловая скорость равна

Ω = -2 ω sin² α /2.

7 . Рельсы игрушечной железной дороги образуют кольцо радиуса R (см. рис.). Вагончик перемещается по ним, подталкиваемый стержнем О₁А, который поворачивается с постоянной угловой скоростью ω₁ вокруг точки О₁, лежащей внутри кольца почти у самых рельсов. Как изменяется скорость вагончика при его движении?

Ответ: v = 2Rω₁.

Решение.

У гол φ₁, образуемый стержнем О₁А с некоторым направлением, изменяется со временем по закону:

φ₁ = ω₁t.

В качестве направления, от которого отсчитывается угол φ₁, удобно взять диаметр окружности, проходящей через точку О₁. Точка О – центр окружности. Очевидно, что центральный угол φ, определяющий положение вагончика на окружности, в два раза больше вписанного угла φ₁, опирающегося на ту же дугу:

φ = 2 φ₁.

Поэтому угловая скорость вагончика ω при движении по рельсам вдвое больше угловой скорости ω₁, с которой поворачивается стержень:

ω = 2 ω₁.

Таким образом, угловая скорость ω вагончика оказалась постоянной. Значит, вагончик движется по рельсам равномерно. Его линейная скорость неизменна и равна

v = 2Rω₁.

Ускорение вагончика при таком движении всегда направлено к центру О, а его модуль равен

a = ω²R = 4 ω₁² R.

8 . Муфта А движется с постоянной скоростью v_o по кольцу радиуса R , а муфта В может двигаться только по прямой, проходящей через центр кольца (см. рис.). Муфты шарнирно соединены жестким стержнем длины L. Найти ускорение муфты В в тот момент, когда муфта A находится в верхней точке траектории.

Ответ: а = v_o²/(L² – R²)^1/2.