Решение

Перейдем в систему отсчета, связанную с движущимися автомобилями. Тогда можно считать, что сами автомобили неподвижны, а колеса равномерно вращаются. Наиболее удаленные от оси колеса точки имеют скорость v. Такую же начальную скорость имеет в момент отрыва от колеса и камешек. Наибольшее расстояние он пролетит, если его начальная скорость образует с горизонтальной плоскостью угол α = 45^о. Это расстояние составит

v²sin2α/g = v²/g.

Итак, l = v²/g = 41м.

8. Под каким наименьшим углом к горизонту следует бросать мяч, чтобы он пролетел сквозь баскетбольное кольцо сверху, не ударившись об него? Радиус мяча равен r, радиус кольца R = 2r, высота его над полом Н = 3 м. Баскетболист бросает мяч с высоты h = 2 м, находясь на расстоянии L = 5 м от кольца, считая по горизонтали. Изменением скорости мяча за время пролета через кольцо пренебречь.

Ответ: α ≈ 45^о.

Решение

З а условие минимальности угла бросания α примем касание мячом передней и задней точек дужки кольца (см. рис.). Тогда sinβ = r/R. Если время полета мяча равно t, а его скорость при броске равна v_o, то

L = v_ocosα t,

H – h = v_osinα t – ½ gt².

Горизонтальная составляющая скорости мяча при касании передней точки дужки v_x = v_ocosα, а вертикальная v_y = v_osinα – gt. Тогда

tgβ = -(v_y/v_x) = -(Ltgα – gt²)/L,

где

gt² = 2Ltgα – 2(H – h).

Окончательно

tgα = 2(H – h)/L + tgβ = 2(H – h)/L + r/(R² – r²)^1/2 ≈ 1.

α ≈ 45^о.

9. На высоте h параллельно поверхности земли летит шар со скоростью v_Ш. Мальчик бросил камень со скоростью v_K , прицелившись прямо в шар под углом α к горизонту. Найти на какой высоте летел шар, если камень все же попал в него.

Ответ: h = 2v_ш(v_Kcosα – v_Ш)tg²α/g.

Решение

Движение камня:

y_k = v_osinα t – ½ gt²,

x_k = v_ocosα t.

Движение шара:

у_ш = h,

x_ш = x_oш + v_шt = hctgα + v_шt.

Встреча:

y_k = у_ш = h,

x_k = x_ш

v_ocosα t = hctgα + v_шt → t = hctgα/(v_ocosα - v_ш) →

h = v_osinα hctgα/(v_ocosα - v_ш) – ½ g [hctgα/(v_ocosα - v_ш)] →

h = 2v_ш(v_Kcosα – v_Ш)tg²α/g.

1.4. Комбинированное движение.

1. С плоскости, образующей с горизонтом угол α, скатывается без проскальзывания тонкостенная труба. Найти ускорение центра масс трубы, пренебрегая влиянием воздуха. (МГУ, физ. фак.,1995г.) Ответ: a = ½ gsinα.

Решение.

Скатывание трубы можно представить как результат ее поступательного движения и вращения вокруг собственной оси. В соответствии с этим скорость i –ой точки трубы равна

v_i = v_П + v_{i вр .}

поскольку кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетических энергий этих точек, то кинетическая энергия трубы будет равна

W = ½ ∑m_iv_i²,

где m_i – масса ее i –ой точки. Поскольку трубу следует рассматривать как твердое тело, угловые скорости всех ее точек должны быть одинаковы и равны ω = v_П /R , т.к. труба движется без проскальзывания. Здесь R – радиус трубы. Пренебрегая толщиной трубы, получим, что v_{i вр} = v_П. Отсюда

W = ½ ∑m_i(v_П + v_{i вр})² = ½ m(v_П² + v_{i вр}²),

где m = ∑m_i– масса трубы. Здесь учтено, что ∑m_iv_Пv_{i вр} = 0, т.к. диаметрально противоположные точки трубы в силу ее однородности имеют одинаковые массы и одинаковые по величине, но противоположные по направлению скорости v_{i вр}. Следовательно

W = mv_П².

С другой стороны, на основании закона сохранения механической энергии можно утверждать, что

mv_П² = mgh = mgLsinα,

где h – высота, на которую опустился центр трубы к моменту t, когда труба, начав двигаться из состояния покоя, приобрела скорость v_П, а L – расстояние вдоль наклонной плоскости, на которое переместилась ось трубы к указанному моменту, g – ускорение свободного падения. Поскольку движение центра масс трубы является равнопеременным, то

v_П = аt и L = ½ at² ,

где а – искомое ускорение. Отсюда

a = ½ v_П²/ L = ½ gsinα.

2. На тонкостенный обод заторможенного велосипедного колеса, ось которого расположена горизонтально и закреплена, намотана тонкая нерастяжимая нить. Один конец нити прикреплен к ободу, а на другом конце висит груз массой m. Радиус колеса равен R , масса обода равна М. Пренебрегая трением, массой спиц, втулки и нити, найти величину ускорения а точек обода колеса через промежуток времени t после отпускания колеса, если в течение этого промежутка времени груз двигался поступательно. (МГУ, физ. фак.,2000)

Ответ: a = mg{R² + [mgt²/(M + m)]²}/[(M + m)R].