Решение.

В установившемся режиме ток через катушку

I = /R,

а напряжение на конденсаторе равно . После размыкания ключа в виде тепла выделится вся запасенная в колебательном контуре энергия:

Q = W = ½ LI² + ½ C² = ½ ²(CR² + L)/R².

6 . Две одинаковые катушки самоиндукции подключены через ключи К₁ и К₂ к конденсатору (см. рис.). В начальный момент оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности потенциалов U. Сначала замыкают ключ К₁ и, когда напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают ключ К₂. Определить максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания ключа К₂. Активным сопротивлением катушек пренебречь. (МФТИ,1980)

Ответ:U_max = U/2.

Решение.

Согласно закону сохранения энергии имеем после разрядки конденсатора:

½ LJ_o² = ½ q²/C = ½ U²/C или J_o = U(C/L)^1/2 ,

где J_o – ток в катушке 1 с индуктивностью L. После замыкания ключа К₂ ток J₁ , текущий в первой катушке, перераспределяется между цепью конденсатора J_c и цепью второй катушки J₂ (см. рис.). Согласно закону сохранения энергии при переносе единичного положительного заряда по замкнутым контурам I и II получаем:

L(dJ₁/dt) + L(dJ₂/dt) = 0

и

L(dJ₁/dt) = q/C,

где q – заряд в произвольный момент на конденсаторе. Тогда

J₁ + J₂ = J_o = const.

В тот момент, когда напряжение U_C на конденсаторе достигнет максимума U_C = U_max , максимума достигнет и заряд q = q_max на конденсаторе. Этому моменту соответствует нулевой ток через конденсатор:

J_C = dq/dt = 0, т.к. q = q_max.

Поэтому моменту J_C = 0 отвечает

J₁ = J₂ = ½ J_o.

Cогласно закону сохранения энергии имеем:

½ LJ₁² + ½ LJ₂² + ½ q² /C = ½ LJ_o² = ½ U²C,

или, учитывая J₁ = J₂ = ½ J_o, находим:

½ q² /C = ¼ LJ_o² = ¼ U²C.

Откуда

U_max = q/C = C( ½ L/C)^1/2 = U/2.

7.4. Переменный ток.

1. Изображенная на рисунке схема подключена в точках А и С к городской сети переменного тока с эффективным напряжением U = 220 В.Считая диоды D₁ и D₂ схемы идеальными, найти среднюю мощность, выделяющуюся на резисторе R₁, если R₁ = 20 кОм, R₂ = R₃ = 5 кОм. (МГУ, физ. фак.,2001)

Ответ: N = .

Решение.

Поскольку схема находится в цепи переменного тока, то половину периода φ_С > φ_А, а вторую половину периода φ_С < φ_А, здесь φ_i – потенциал i –ой точки.

При φ_С > φ_А сопротивление диодов равно нулю и напряжение на резисторе R₁ равно U (так как φ_С = φ_В, φ_D = φ_A). Поскольку U это эффективное или действующее напряжение, то количество теплоты, выделившееся на резисторе R₁, будет равно

Q₁ = (U²/ R₁)(T/2),

где Т- период колебаний.

При φ_С < φ_А диоды находятся в запертом состоянии, и ток идет по ветви C-D-B-A. Действующее значение силы тока в этой ветви определяется законом Ома:

I = U/(R₁ + R₂ + R₃).

Тогда выделившееся на резисторе R₁ количество теплоты будет равно

Q₂ = I² R₁(T/2) = U² R₁/( R₁ + R₂ + R₃)².

В итоге, искомая мощность будет равна

N = (Q₁ +Q₂)/2 = (U²/2) [1/ R₁+ R₁/( R₁ + R₂ + R₃)²] =

= ~ 1.75 Вт.

2 . Найти максимальное падение напряжения на резисторе, имеющем сопротивление R = 10 Ом, и долю периода, в течение которой ток в цепи отличен от нуля (см. рис.). Амплитудное значение напряжение источника переменного тока равно 220 В, а частота равна 50 Гц. Внутренним сопротивлением батареи постоянной ЭДС ε = 210 B можно пренебречь. Решить задачу для двух случаев, когда зависимость тока через диод от приложенного к нему напряжения имеет вид представленный на рисунке. (Меледин, 3.101^*)

Ответ: 1) τ/Т = 0.1, U_max = 10 B; 2) U_max = 5 B.