Решение

В начальный момент на конденсаторе А имеется заряд q_o = СU_o. После замыкания ключа происходит быстрое перераспределение этого заряда между конденсаторами А и В так, что

q_A + q_B = q_o.

U_A = U_B, → q_A/C = q_B/C → q_A = q_B = ½ q_o.

В этом процессе катушка, вследствие своей инерционности не участвует. Следует отметить, что закон сохранения энергии в этом процессе не выполняется: часть энергии выделяется в виде тепла на подводящих проводах, другая часть излучается в виде электромагнитной волны (индуктивность контура из конденсаторов очень мала, поэтому частота колебаний – велика).

Энергия системы конденсаторов, после перераспределения зарядов, будет равна

W₁ = 2[ ½ (½ q_o)²/C] = ¼ CU_o².

Эта энергия является начальной энергией системы «конденсаторы+катушка», которая в процессе дальнейших колебаний не меняется, поскольку участие катушки ограничивает как величину тока, а значит и выделение тепла, так и частоту колебаний в контуре, а, следовательно, потери на излучение.

Когда через катушку протекает максимальный ток, ЭДС самоиндукции в ней

ε_с = - L(dJ/dt) = 0.

Следовательно, напряжение на конденсаторах U = 0, а их энергия тоже равна нулю. Вся энергия системы, т.о., сосредоточена в катушке. Из закона сохранения энергии получим

¼ CU_o² = ½ LJ²_max.

Отсюда

J_max = ε(C/L)^1/2.

3 . Конденсатор емкостью С₁ = 1мкФ заряжен до разности потенциалов U_o = 300B. К нему через идеальный диод D и катушку индуктивности L подключают незаряженный конденсатор емкостью C₂ = 2мкФ (см. рис.). До какой разности потенциалов он зарядится после замыкания ключа K? Индуктивность L достаточно велика, так что процесс перезарядки происходит достаточно медленно. (МГТУ).

Ответ: U₂ = 200B.

Решение

Так как процесс перезарядки происходит медленно потерями энергии на электромагнитное излучение можно пренебречь. Тепловых потерь тоже нет. Следовательно, электрическая энергия, запасенная в конденсаторе С₁, должна сохраняться:

½ С₁U_o² = ½ С₁U₁² + ½ С₁U₂².

Кроме того, сохраняется заряд:

С₁U_o = С₁U₁ + С₂U₂.

Решая эту систему уравнений, получим для разности потенциалов на конденсаторе С₂

U₂ = 2C₁U_o/(C₁ + C₂) = 200 B.

Результат не зависит от индуктивности L. Она нужна в цепи для обеспечения медленной перезарядки, когда можно пренебречь потерями на электромагнитное излучение. Кроме того, благодаря ей на конденсаторах устанавливаются разные напряжения.

4 . Конденсатор емкости С после замыкания ключа К₁ начинает разряжаться через сопротивление R и индуктивность L. В момент, когда ток в цепи достигает максимального значения равного J_o, замыкают ключ К₂. Чему равны напряжение на индуктивности непосредственно перед замыканием ключа К₂ и максимальный ток при последующих колебаниях? (НГУ-92)

Ответ: J_m =J_o(1 + CR²/L)^1/2.

Решение.

Максимальный ток J_o достигается, когда ЭДС самоиндукции ε_L = 0. При этом

U_C = U_R = J_oR.

Соответственно, накопленная энергия

W_o = ½ LJ_o² + ½ C(J_oR)².

При колебаниях тока его максимум J_m вычисляется из закона сохранения энергии:

½ LJ_m² = ½ LJ_o² + ½ C(J_oR)².

J_m =J_o(1 + CR²/L)^1/2.

5 . Колебательный контур, состоящий из конденсатора емкости С и катушки с индуктивностью L и сопротивлением R, через ключ K подключен к источнику постоянной ЭДС  (см. рис.). Через некоторое время после замыкания ключа K установится стационарный режим: токи во всех элементах цепи будут постоянны. После этого ключ K снова размыкают. Какое количество тепла выделится в катушке после размыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. Ответ: Q = ½ ²(CR² + L)/R².