Решение.

Учитывая, что индукция В магнитного поля для длинного соленоида определяется как

B = μ_oNJ/L,

а число витков N при плотной однослойной намотке на длине L соленоида равно:

N = L/d

( d – диаметр провода), получаем:

В = μ_oJ/d,

где J – сила тока в обмотке соленоида.

При последовательном включении катушек в них протекает ток одинаковой силы, поэтому величина индукции В обратно пропорциональна диаметру провода

B_D/B_d = d/D = ½.

При параллельном соединении катушек токи в них различны и обратно пропорциональны сопротивлению катушки R, которое определяется как

R = ρL/S = ρN2πR_сол /(πd²/4) = 8ρLR_сол /d³ ,

где ρ – удельное сопротивление провода, R_сол - радиус поперечного сечения соленоида.

Согласно закону Ома для участка цепи имеем:

J = U/R = U d³/(8ρLR_сол )

и для индукции В при параллельном соединении получаем

B_D/B_d = (J_D/J_d)(d/D) = (D/d)² = 4.

Таким образом, магнитное поле катушки, намотанной толстым проводом, оказывается при последовательном соединении в два раза меньше, а при параллельном в четыре раза больше поля катушки, намотанной более тонким проводом.

22. Заряд Q равномерно распределен по тонкому диэлектрическому кольцу, которое лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Индукция магнитного поля, перпендикулярного плоскости кольца, меняется от 0 до В_о. Какую угловую скорость вращения приобретет при этом кольцо? Масса кольца равна m.

(IX Всесоюзная олимпиада, 1975 г.)

Ответ: ω = ½ QB_о/m.

Решение

При изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, напряженность которого в каждой точке кольца направлена по касательной к кольцу. На заряды кольца в этом поле действуют силы, благодаря которым кольцо приходит в движение. Изменение кинетической энергии кольца за время Δt равно работе, совершаемой этими силами. Если скорость кольца равна ω, то за время Δt оно поворачивается на угол Δφ = ωΔt. При этом повороте по контуру проходит заряд Δq, которым обладает участок длины ΔφR. Так как заряд единицы длины кольца равен Q/(2πR), то

Δq = ΔφRQ/(2πR) = ωΔtQ/(2π).

Работа, совершаемая при повороте кольца, равна ЭДС индукции, возбуждаемой в контуре, ограниченном кольцом, и умноженной на заряд Δq:

ΔA = |ε|Δq = |ΔФ/Δt|Δq = |πR²ΔB/Δt|ωΔtQ/(2π) = ½ R²ωQΔB.

Кинетическая энергия кольца за это же время меняется на величину

ΔW = ½ m(v + Δv)² – ½ mv² ≈ mvΔv = mωR(RΔω) = mωR²Δω.

Приравнивая ΔA и ΔW, получаем

½ R²ωQΔB = mωR²Δω → Δω = ½ QΔB/m.

К моменту, когда индукция магнитного поля достигнет значения В_о, угловая скорость кольца станет равной

ω = ½ QB_о/m.

7.3. Электромагнитныен колебания.

1. В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент ключ К разомкнут, конденсатор не заряжен. Определить максимальное значение силы тока после замыкания ключа. Значения L, C, ε считать известными. Сопротивлением катушки и источника пренебречь.

Ответ: I_max = ε(C/L)^1/2.

Решение

Когда через катушку протекает максимальный ток, ЭДС самоиндукции в ней

ε_с = - L(dJ/dt) = 0.

Следовательно, напряжение на конденсаторе U = ε, а его заряд q = Cε. Именно этот заряд прошел через источник, который совершил при этом работу

A = qε = Cε².

Эта работа пошла на изменение энергии конденсатора и катушки индуктивности

A = W_k + W_L = ½ Cε² + ½ LJ²_max.

Итак

Cε² = ½ Cε² + ½ LJ²_max.

Отсюда

J_max = ε(C/L)^1/2.

2. Два одинаковых конденсатора А и В, каждый емкостью С и катушка индуктивностью L соединены как показано на рисунке. В начальный момент ключ К разомкнут, конденсатор А заряжен до напряжения U . Конденсатор В не заряжен и ток в катушке отсутствует. Определить максимальное значение силы тока в катушке после замыкания ключа. Сопротивлением катушки пренебречь.

Ответ: I_max = U[ C/(2L)]^1/2.