Решение.

По горизонтали второй камень движется равномерно. По вертикали оба камня движутся с ускорением g . Таким образом

L = vcosα(t – τ),

где τ – искомое время между бросками,

vt – ½ gt² = vsinα(t – τ) – ½ g(t – τ)²;

отсюда

t = v/g + {(v/g)² – 2Ltgα/g + [L/(vcosα)]²}^1/2, где (vsinα)² > gL.

Знак “+” в решении квадратного уравнения выбран из условия, что соударение должно произойти лишь после того, как первый камень начнет двигаться вниз (t > v/g). С учетом этого имеем

τ = t – L/vcosα = 1.2 c

4 . В конической лунке с вертикальной осью симметрии и углом раствора 2α =90^о прыгает шарик, ударяясь через одно и то же время τ = 1 с о противоположные точки А и В, расположенные на одной горизонтали. Найти максимальную и минимальную скорости шарика.

Ответ: v_max = 7 м/с, v_min = 5 м/с.

Решение.

Скорость шарика максимальна в момент удара о стенку. Из симметрии задачи и с учетом того, что скорость шарика у стенки перпендикулярна касательной плоскости, имеем

v_max = gτ/(2sinα) = 7 м/с.

Скорость шарика при пересечении оси лунки (она же горизонтальная скорость) минимальна:

v_min = v_max cosα;

отсюда

v_min = ½ gτ ctgα = 5 м/с.

5 . У подножия горы расположено орудие, обстреливающее склон горы, с углом наклона α к горизонту. Скорость вылета снарядов из ствола V_o . При каком угле стрельбы β дальность полета снаряда вдоль склона окажется наибольшей? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: β = arctg[(1 + sinα)/cosα]

Решение.

Если дальность полета максимальна, то и координата x точки попадания снарядов тоже максимальна. Решая совместно систему уравнений

x = V_o cosβ t

xtgα = V_o sinβ t – ½ gt² ,

получим:

x = 2V_o² cos²β (tgβ - tgα )/g,

c учетом того, что cos²β = 1/(1 + tg²β)

x = 2 V_o² (tgβ - tgα )/[g(1 + tg²β)].

Из условия экстремума для x:

dx/d(tgβ) = (2V_o²/g){ 1 + tg²β - 2tgβ ( tgβ - tgα )}/(1 + tg²β ) = 0

следует, что

tgβ = tgα + 1/cosα = (1 + sin α)/cosα,

откуда

β = arctg[( 1 + sinα)/cosα ]

Например, при α = 0 , β = 45^o , как и должно быть.

6. Мальчик находится на расстоянии S = 5 м от забора высотой Н = 2.5 м. С какой минимальной скоростью мальчик должен бросить теннисный мяч, чтобы тот перелетел через забор? Считать, что бросок производится с уровня h = 1.5 м от поверхности земли. Сопротивлением воздуха пренебречь. (МАИ,1999)

Ответ: v_min = 7.7 м/с.

Решение.

Выберем систему координат XOY так, как показано на рисунке. Тогда уравнения движения мяча в проекциях на оси системы координат примут вид

x = v_ocosα t,

y = h + v_o sinα t – ½ gt².

Поскольку мяч должен быть переброшен через забор с минимальной скоростью, то, очевидно, нужно рассмотреть бросок, при котором траектория мяча пройдет через точку А. Используя полученные уравнения, получим уравнение траектории мяча

y = h + xtgα – ½ gx²(1 + tgα²)/v_o².

В точке А координаты мяча x = S, y = H. Следовательно

H = h + Stgα – ½ gS²(1 + tgα²)/v_o².

Отсюда получим зависимость начальной скорости v₀ мяча от угла α:

v_o² = ½ gS²(1 + tgα²)/( Stgα +h – H).

Исследуем эту зависимость на экстремум d(v_o²)/d(tgα) = 0.

S tgα² – 2(H – h) tgα – S = 0,

tgα = {H – h + [(H – h)² + S²]^1/2}/S . (α = 50.6^o)

Следовательно, минимальная скорость, с которой надо бросить мяч, равна

v_o = {½ gS²(1 + tgα²)/( Stgα +h – H)}^1/2 или

v_o² = g(H – h){1 + [1 +s²/(H – h)²]^1/2}

7. Два автомобиля движутся друг за другом по дороге с одинаковой скоростью v = 72км/ч. При каком минимальном расстоянии l между ними камешек, застрявший между сдвоенными шинами переднего грузового автомобиля, не может попасть в задний автомобиль?