Решение.

Из-за симметрии силовые линии напряженности вихревого электрического поля представляют собой окружности, плоскость которых перпендикулярна оси стержня, а центры лежат на этой оси. Возьмем мысленно контур радиуса x , совпадающий с одной из этих окружностей. Перенесем по этому контуру заряд q. Силы вихревого электрического поля с напряженностью Е совершат над зарядом работу

A = qE2πx.

Отношение этой работы к величине переносимого заряда и есть ЭДС индукции ε в контуре:

ε = A/q = 2πx E.

С другой стороны,

ε = |dФ/dt| = πr²|dB/dt|,

где dФ/dt – скорость изменения магнитного потока Ф через контур. Из последних двух равенств находим

E = (r²/2x) |dB/dt|.

В условиях данной задачи

dB/dt = k.

С учетом этого для напряженности при x = 3r получим

E = rk/6.

12. По металлической ленте течет ток силой I. Лента помещена в однородное магнитное поле с индукцией В. при этом между точками А и С возникает разность потенциалов (эффект Холла). Объяснить это явление. Определить разность потенциалов U_AC, если АС = а, АD = b, концентрация свободных электронов равна n. Ответ: U_AC = (IB)/(enb).

Решение.

П ри упорядоченном движении электронов (в направлении, противоположном направлению тока) на них действует сила Лоренца. В результате они отклоняются в сторону поверхности CC₁E₁E, на этой поверхности происходит накопление отрицательного заряда, а на противоположной – положительного. Процесс разделения зарядов продолжается до тех пор, пока возникающее электрическое поле Е не скомпенсирует действие на электрон силы Лоренца:

еE = evB → E = vB,

здесь v – скорость упорядоченного движения электронов. Учитывая, что

φ_A – φ_C = Ea и I = envS = envab,

получим

U_AC = φ_A – φ_C = IB/(enb).

Рассмотренный эффект дает возможность достаточно точно измерять концентрацию свободных заряженных частиц в проводнике или индукцию магнитного поля.

13. Катушка сопротивлением R = 40 Ом и индуктивностью L = 0.01Гн замкнута накоротко и находится во внешнем постоянном магнитном поле (см. рис.). Начиная с определенного момента внешнее поле, начинает меняться и за некоторое время магнитный поток внешнего поля через катушку возрос на 0.002Вб, а ток достиг значения 0.08А. Какой заряд прошел за это время по катушке? Ответ: q = -3^.10^-5Кл.

Решение

Изменяющееся внешнее поле вызывает в катушке ЭДС индукции, в результате чего возникает меняющийся со временем ток, являющейся причиной появления ЭДС самоиндукции. Свяжем направление нормали к витку катушки и положительное направление обхода витка правилом буравчика. Этим будет задаваться связь знаками магнитного потока, тока и обеих ЭДС в контуре. Разобьем все время опыта на достаточно малые интервалы Δt_i. Пусть за достаточно малое время Δt_i магнитный поток от внешнего поля изменился на величину ΔФ_i , а ток изменился на величину ΔJ_i. Тогда по закону Ома для замкнутой цепи

-(ΔФ_i /Δt_i) – L(ΔJ_i /Δt_i) = J_iR. (1)

Здесь J_i- среднее значение тока в катушке в течение времени Δt_i. Умножим обе части равенства (1) на Δt_i , и, учтя, что (ΔJ_iΔt_i) есть протекший через катушку заряд Δq_i за время Δt_i , получим

-ΔФ_i – LΔJ_i = Δq_i R. (2)

Сложив равенства (2) для всех Δt_i , получим

-∑ΔФ_i – L∑ΔJ_i = R∑Δq_i . (3)

поскольку ∑Δq_i = q – прошедший через катушку за время опыта заряд, ∑ΔФ_i = ΔФ – полное изменение потока внешнего поля через катушку, а ∑ΔJ_i = ΔJ - полное изменение тока в катушке за время опыта, то имеем:

-ΔФ – LΔJ = Rq . (4)

Так как ток в момент начала изменения внешнего поля равен нулю, то ΔJ = J_кон – 0 = J_кон. Здесь J_кон – значение тока в конце опыта. Итак,

q = - (ΔФ – LJ_кон)/R. (5)

Если направление нормали к витку выбрать таким, чтобы было ΔФ положительным, т.е. равным 0.002 Вб, то значение J_кон надо взять отрицательным, т.е. равным –0.08 А. Это следует из правила Ленца: знак индукционного тока должен быть противоположен знаку изменения магнитного потока, вызвавшего этот ток. Таким образом, ΔФ = 0.002 Вб, J_кон = – 0.08 А, а q = - 3^.10^-5 Кл. Знак минус у заряда означает, что он прошел в отрицательном направлении обхода витка катушки.

14. Плоский проволочный виток площадью S = 10³см² расположен так, что его плоскость перпендикулярна силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией В = 0.1Тл. Виток замкнут на гальванометр. Какой заряд пройдет через гальванометр, если виток повернуть так, чтобы его плоскость стала параллельна силовым линиям поля? Сопротивление цепи из витка и гальванометра R = 10 Ом.

Ответ: Q = 10^-3Кл.