Решение.

Запишем работу вихревого электрического поля, вызвавшего изменение кинетической энергии протона:

eε_инд = e(ΔФ/Δt) = ½ mv² - ½ mv_o².

Ток в пучке протонов

I = nev/(2πR),

I_o = nev_o/(2πR).

Откуда I = [I_o² + n²e³ε /(2π²mR²)]^1/2 .

5. Непроводящее кольцо массы m и радиуса R, имеющее равномерно распределенный небольшой заряд q, может свободно вращаться вокруг своей оси. Кольцо помещено в перпендикулярное плоскости кольца магнитное поле, индукция которого в центральной области кольца радиуса r < R равна 2В, а в остальном пространстве внутри кольца равна В. Магнитное поле начинает равномерно уменьшаться до нуля. Какую скорость приобретет кольцо после исчезновения магнитного поля, если в начальный момент оно покоилось. (Меледин, 3.113)

Ответ: v = qB(r² + R²)/(2mR).

Решение.

При изменении магнитного поля возникает электрическое поле, раскручивающее кольцо. Магнитный поток

Ф = πВ(r² + R²).

ЭДС индукции

ε_инд = ΔФ/Δt = π(r² + R²)ΔB/Δt = E 2πR.

Сила, действующая на выделенный на кольце заряд Δq,

Тангенциальное (направленное по касательной к траектории) ускорение

a_t = qE/m = const,

v = a_tΔt,

ΔB = B,

так как магнитное поле уменьшается до нуля.

Окончательно

v = qB(r² + R²)/(2mR).

6 . Проволочное кольцо радиуса R имеет проводящую перемычку, расположенную вдоль диаметра (см. рис.). В левую и правую полуокружности включены конденсаторы емкостями С₁ и С₂. Кольцо помещено в нарастающее линейно со временем магнитное поле с индукцией B(t) = B_ot/T, перпендикулярное его плоскости. В некоторый момент времени перемычку убирают и затем прекращают изменять магнитное поле. Найти установившиеся заряды на конденсаторах. (Меледин, 3.114)

Ответ: q₁^/ = ½ πR²B_oC₁(C₁ - C₂₎/[T(C₁ + C₂₎], q₂^/ = ½ πR²B_oC₂(C₁ - C₂₎/[T(C₁ + C₂₎].

Решение.

До удаления перемычки по закону Фарадея имеем

ε₁ = q₁/C₁ = ΔФ₁/Δt = ½ πR²B_o/T,

ε₂ = q₂/C₂ = ΔФ₂/Δt = - ½ πR²B_o/T.

Отсюда

q₁ = ½ πR²B_oC₁/T,

q₂ = - ½ πR²B_oC₂/T.

После удаления перемычки из закона сохранения заряда имеем

q₁^/ + q₂^/ = q₁ + q₂ = ½ πR²B_o (C₁ - C₂ )/T.

Из равенства потенциалов на обкладках конденсаторов

q₁^//C₁ = q₂^//C₂

получаем

q₁^/ = ½ πR²B_oC₁(C₁ - C₂ )/[T(C₁ + C₂ )],

q₂^/ = ½ πR²B_oC₂(C₁ - C₂ )/[T(C₁ + C₂ )].

7. Заряженный конденсатор емкости С замкнут на катушку индуктивности L. Найти такую зависимость от времени емкости конденсатора, при которой ток в цепи нарастает прямо пропорционально времени. (Меледин, 3.127)

Ответ: C(t) = C_o[1 – t²/(2LC_o)].

Решение.

По закону Фарадея напряжение на катушке

U_L = ΔФ/Δt = L ΔI/Δt .

Так как ток в цепи растет пропорционально времени, U_L со временем не изменяется и в любой момент времени

U_L = LI/t .

Следовательно, и напряжение на конденсаторе, равное напряжению на катушке, тоже остается постоянным:

U_C = q_o/C_o = (q_o – q)/C,

где q_o – начальный заряд на конденсаторе, q – заряд ушедший с обкладок конденсатора за время t, С – емкость конденсатора в момент t. Из равенства

LI/t = q_o/C_o

находим ток:

I = q_ot/(LC_o).

Тогда ушедший с конденсатора заряд

q = I_срt = ½ It = q_ot²/(2LC_o).

Из условия постоянства напряжения на конденсаторе найдем емкость

C(t) = C_o(q_o – q)/q_o = C_o[1 – t²/(2LC_o)].

Ответ справедлив при условии, что q < q_o, т.е. при условии, что t²/(2LC_o) < 1.

8. Ток в короткозамкнутом сверхпроводящем соленоиде изменяется вследствие несовершенства контакта. Создаваемое этим током магнитное поле уменьшается на 2% в час. Определить сопротивление контакта R , если индуктивность соленоида L = 1 Гн. (Козел, 3.184)

Ответ: R = 5.6^.10^-6 Ом.