VIII. Электромагнетизм.

7.1. Сила Ампера, Лоренца.

1. Проволочное кольцо радиуса R = 0.1м помещено в неоднородное магнитное поле на краю соленоида так, что вектор магнитной индукции В пересекает кольцо веерообразно под углом a = 60^о к плоскости кольца. Какую силу F надо приложить к витку, чтобы при силе тока I = 12А в нем удержать кольцо в равновесии? Величина индукции В магнитного поля равна 0.16 Тл. Ответ: F = 0.6 H.

2. Н а непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит жесткая тонкая проводящая квадратная рамка со стороной равной а, сделанная из однородного куска проволоки. Рамка находится в магнитном поле длинного горизонтального провода с током I, расположенного симметрично над рамкой. Масса рамки М, индукция магнитного поля у боковых сторон 1 и 2 равна В. Коэффициент трения скольжения рамки о стол таков, что при некоторой величине тока J, пропущенного через рамку, она начинает приподниматься (без скольжения) относительно одной из своих сторон. Найти величину этого тока. Ответ: J = Mg / (Ba√3).

3. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0.02Тл расположено проволочное полукольцо длиной L = 3см, по которому течет ток I = 0.1А. Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости полукольца (см. рис.). Найти силу, действующую на полукольцо со стороны магнитного поля. Ответ: F = 3.8 10^-5H.

4. В вакууме создано однородное постоянное магнитное поле с индукцией B. Область пространства, где есть магнитное поле, имеет форму цилиндра радиуса R, ось которого параллельна B. К этой области со скоростью v, направленной вдоль одного из радиусов, подлетает электрон. Найти время движения электрона в магнитном поле. (МГУ, физ. фак. , 2000) Ответ: τ = (2m/eB)arctg (eBR/mv).

5. На концах тонкого жесткого невесомого горизонтального диэлектрического стержня закреплены два маленьких шарика, каждый из которых имеет массу m и заряд q. Стержень медленно раскручивают вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Когда угловая скорость вращения стержня становится равной ω_o, стержень разрывается. При какой угловой скорости разорвался бы стержень, если бы он находился в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией B? (МГУ, физ. фак.,2000) Ответ: ω = [(qB/2m)² + ω_o²]^1/2 ± qB/2m .

6. Отрицательная заряженная частица влетает в область однородного магнитного поля с индукцией В = 1мТл, где движется по дуге окружности радиусом R = 0.2м. Затем частица попадает в однородное электрическое поле, где пролетает вдоль направления силовой линии участок с разностью потенциалов U = 1кВ, при этом скорость частицы меняется в n = 3 раза. Определить конечную скорость частицы. Ответ: v = 3.8^.10⁶м/с.

7. В пространстве созданы магнитное поле с индукцией В = 0.06 Тл и электрическое - с напряженностью Е = 25 В/м, причем силовые линии полей параллельны друг другу. В эти поля с начальной скоростью v_o = 25 км/с влетает α - частица под углом β= 60^o к силовым линиям. Чему равен шаг пятого витка спирали, по которой движется частица? Масса α-частицы приближенно равна m_α = 4m_p , заряд q_α = 2|e|, где | e | = 1.6 10^-19 Кл - величина заряда электрона, m_p = 1.67 10^-27 кг - масса протона. (МАИ,1999) Ответ: h = (4πm_p/ | e |B){v_оcosβ + 9πE/B} = 53 мм.

8. М агнитогидродинамический насос для перекачки жидких (расплавленных металлов) имеет участок в виде канала квадратного сечения со стороной d = 2 см, находящийся в однородном магнитном поле. При пропускании через боковые электроды перпендикулярно магнитному полю тока I = 100 А в насосе создается перепад давления ΔР = 0.2 кПа. Определить индукцию магнитного поля. Ответ: В = 0.04 Тл.

9. П рямоугольный контур АBCD , стороны которого имеют длины a и b , находится в однородном магнитном поле индукции В и может вращаться вокруг оси ОО^/ (см. рис). По контуру течет постоянный ток I. Определить работу, совершенную магнитным полем при повороте контура на 180^о, если вначале плоскость контура была перпендикулярна магнитному полю и сам контур расположен так, как показано на рисунке. Ответ: А = 2BIab.

10. Из двух одинаковых кусков тонкого покрытого изоляцией провода изготовили две круглые рамки. Первая рамка имеет один (n₁ = 1), а вторая – два витка (n₂ =2). Рамки поместили в однородное магнитное поле на достаточно большом расстоянии друг от друга, соединив концы проводников рамок с помощью одинаковых электрошнуров с источником постоянного тока. Во сколько раз будут отличаться максимальные моменты сил, которые могут действовать на эти рамки со стороны магнитного поля? (МГУ, физ. фак.,1995г.) Ответ: М₁/М₂ = 2.

11. В вертикальном магнитном поле установлена плоскость, угол наклона которой к горизонту равен α. Этот угол можно изменять, поворачивая плоскость вокруг некоторой оси. Перпендикулярно этой оси на плоскости закреплены две гладкие проводящие шины. На шины, перпендикулярно им, кладут, а затем отпускают без начальной скорости тонкий массивный проводящий стержень. Опыт повторяют, уменьшив угол наклона в n =2 раза. Найти отношение разности потенциалов между шинами через один и тот же промежуток времени после начала движения в этих опытах. (МГУ, физ. фак.,1995г.) Ответ: Δφ₁/ Δφ₂ = 2cosα.

12. З аряженная частица движется в однородных, взаимноперпендикулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый момент времени ее скорость v_o перпендикулярна векторам Е и В. Чему будет равно отношение изменения кинетической энергии к начальной кинетической энергии частицы в те моменты, когда вектор ее скорости будет перпендикулярен v_o, если известно, что β = Е/(v_oB) << 1? (МФТИ,1992) Ответ: ΔK/K_o = 2β.

13. В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора плоский конденсатор с площадью пластин S и расстоянием между ними d помещен в поток проводящей жидкости с удельным сопротивлением ρ. Жидкость движется с постоянной скоростью v параллельно пластинам. Конденсатор находится в магнитном поле с индукцией В, направленной перпендикулярно к скорости жидкости и параллельно плоскости пластин. Какая мощность выделяется во внешней цепи, если замкнуть конденсатор на внешнее сопротивление R? Ответ: P = (vBd)²R/(R + ρd/S)².

14. Д ве параллельные шины, подключенные к аккумулятору с ЭДС ε_о и внутренним сопротивлением r , находятся в однородном магнитном поле с индукцией В. Шины замкнуты проводником длины l и сопротивлением R , который перемещается по шинам без нарушения контакта перпендикулярно линиям индукции поля со скоростью v. Пренебрегая сопротивлением шин, определить напряжение на зажимах источника, мощность, выделяемую в проводнике, а также механическую мощность, подводимую к проводнику. Ответ: U = (ε_о R + lvBr)/(R + r), P =R [(ε_о – lvB)/(R + r)]², N = lvB [(ε_о R – lvB) /(R + r)].

15. П о горизонтальным параллельным рельсам, расстояние между которыми равно d, может скользить без трения перемычка, масса которой m. Рельсы соединены резистором сопротивлением R и помещены в вертикальное магнитное поле, индукция которого В. Перемычке сообщают скорость v_o. Найти путь S, пройденный перемычкой до остановки. Ответ: S = (mv_oR) / (B²d²).

1. П о бесконечно длинному прямолинейному тонкому проводу AKD течет ток (см. рис.). В некоторой точке С индукция магнитного поля, создаваемого этим током, равна В. Как изменится магнитная индукция в точке С, если провод с этим током займет положение АКD₁? Ответ: В₁ = ½ В.

2. В однородном магнитном поле с индукцией В частице с массой m и зарядом q (q>0) сообщают скорость v , составляющую острый угол  с направлением поля. Определить траекторию движения частицы. Ответ: траектория – винтовая линия с шагом H = 2mvcos/qB и радиусом R = mvsin/qB.

1. Плоская проволочная рамка может свободно вращаться вокруг оси, перпендикулярной магнитной индукции однородного магнитного поля. Указать положение устойчивого равновесия рамки, если магнитное поле убывает; если магнитное поле возрастает.

2. В однородном магнитном поле индукцией В частице с массой m и зарядом q (q > 0) сообщают скорость v, направленную перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить траекторию движения частицы в магнитном поле. Ответ: частица движется по дуге окружности радиуса R = mv/qB.

1. Э лектрон со скоростью v = 10⁹см/с влетает в область однородного магнитного поля с индукцией В = 10^-3Тл. Направление скорости перпендикулярно линиям индукции поля. Определить максимальную глубину h проникновения электрона в область магнитного поля. Угол падения  = 30^о. Отношение заряда электрона к его массе  = 1.76 10¹¹Кл/кг. Ответ: h = 28мм.

1. Плоский замкнутый металлический контур площадью S_o = 10см² деформируется в однородном магнитном поле, индукция которого В = 10^-2Тл. Площадь контура за время τ = 2c равномерно уменьшается (плоскость контура при этом остается перпендикулярной магнитному полю) до S_K = 2см². Определить силу тока, протекающего по контуру в течение времени τ, если сопротивление контура R = 1 Ом. Ответ: I = 4мкА.

3. В цепи (см. рис.) L = 2мкГн, R_o = 1 Ом,  = 3В, r = 0. Ключ К замыкают. После того как ток в катушке достигает установившегося значения, ключ размыкают. Найти количество теплоты, выделившееся в цепи после размыкания ключа. Ответ: W = 9мкДж.

ВОПРОСЫ:

ВОПРОС. При включении в электрическую цепь двух одинаковых катушек, намотанных одинаковым проводом так, что их сопротивления равны, одна обнаруживает магнитное действие, притягивая, например, железный предмет, а другая нет. Почему?

ОТВЕТ. Катушка, не проявляющая магнитного действия, имеет, вероятно, намотку, выполненную сложенным вдвое проводом и называемую также бифилярной. В таком случае токи в соседних прилегающих друг к другу витках текут в противоположных направлениях и их магнитные поля, очевидно, взаимно гасятся.

Проводящее кольцо (с проводящими спицами) может свободно вращаться вокруг своей оси, расположенной вертикально. Между центром колеса и его ободом имеется постоянная разность потенциалов. Если к колесу поднести магнит (например, снизу), оно начинает вращаться. При смене полюса магнита направление вращения изменяется на противоположное. Объяснить явление.

Взаимодействие радиального тока и перпендикулярного плоскости колеса магнитного поля создает момент силы Ампера, направленной так, что колесо будет вращаться. При смене полюса направление силы, момента силы и вращения сменяются на противоположные.

С какой скоростью будет нарастать ток в цепи, показанной на рисунке, если замкнуть ключ К? (L = 0.01 Гн, ε = 9В)

Пусть в произвольный момент после замыкания цепи ток равен J, а его скорость возрастания (производная по времени) dJ/dt. По закону Ома для замкнутой цепи

ε - L dJ/dt = J(R + r).

в первый момент после замыкания цепи J = 0 и скорость нарастания тока

dJ/dt = ε/L = 900 А/с.

В каком направлении потечет ток через гальванометр G после замыкания ключа К?

Ток в правой катушке начнет возрастать и в сердечнике появится увеличивающееся магнитное поле, направленное по правилу буравчика справа налево. Индукционный ток в левой катушке создаст в сердечнике собственное магнитное поле, которое по правилу Ленца будет направлено против поля правой катушки, т.е. вправо. Воспользовавшись правилом буравчика, находим направление тока в левой катушке: ток через гальванометр потечет слева направо.

Кольцо из сверхпроводника находится вблизи постоянного магнита и пронизывается магнитным потоком Ф. Тока в кольце нет. Каким будет магнитный поток через кольцо, если убрать магнит?

При удалении магнита в кольце возникнет такой индукционный ток, магнитное поле которого создаст поток через кольцо, в точности равный потоку, создаваемому полем постоянного магнита. Действительно, сопротивление кольца R = 0 и скорость изменения магнитного потока Ф, создаваемого полем постоянного магнита и полем индукционного тока в кольце, dФ/dt = 0. Следовательно, при перемещении магнита магнитный поток через кольцо будет все время одинаков, и после удаления магнита останется равным Ф.

Два одинаковых проволочных кольца в форме окружностей с равными токами расположены так, что их плоскости перпендикулярны. Магнитная индукция в их общем центре В. Какая будет магнитная индукция в общем центре, если прежний ток пойдет только по одному кольцу?

Ответ: В₁ = В/√2

Н айти индукцию магнитного поля в т. О (см. рис.), созданного током J , текущим в бесконечно длинном тонком проводе с петлей с форме полуокружности радиуса R. Известно, что индукция магнитного поля в центре кругового витка радиуса R с током такой же силы равна В = 0.006 Тл.

В т.О магнитное поле, созданное током J, текущим в двух полубесконечных участках АВ и СD равно нулю, т.к. т.О находится на продолжении этих участков. Поэтому поле в т.О создается только током J в петле ВКС. Индукция этого поля в т.О направлена перпендикулярно плоскости рисунка, из-за плоскости рисунка и равна половине индукции поля, BKCMB с тем же током J. Итак, индукция поля в т.О В_о = ½ В = 0.003 Тл.

К огда можно ожидать появления искры между контактами ключа К: при замыкании или размыкании цепи?

При размыкании цепи ток вынужден резко уменьшаться, что вызывает появление больших ЭДС самоиндукции в имеющихся в цепях индуктивностях. По правилу Ленца направление этих ЭДС таково, что они препятствуют уменьшению тока в цепи, т.е. пытаются сохранить ток прежним. В результате между разомкнутыми контактами рубильника возникает большая разность потенциалов, происходит электрический пробой воздуха и кратковременно возникает электрическая дуга – рубильник искрит.

Из кольца выдвигают магнит. Какое электрическое явление возникает в кольце из а) проводника; б) диэлектрика?

Появляется вихревое электрическое поле, под действием которого в кольце из проводника возникает индукционный ток, а вещество в кольце из диэлектрика поляризуется.

Н а рисунке показано направление тока в левом проводе. Как направлен ток в правом проводе, если провода отталкиваются друг от друга?

Ток в правом проводе направлен противоположно току в левом проводе.

Протон движется в постоянном неоднородном магнитном поле. Как будет меняться модуль скорости протона при попадании в область более сильного поля?

Модуль скорости протона меняться не будет, т.к. сила Лоренца, действующая на протон, всегда перпендикулярна скорости протона и работы не совершает.

При включении в электрическую цепь двух одинаковых катушек, намотанных одинаковым проводом так, что их сопротивления равны, одна обнаруживает магнитное действие, а другая нет. Почему?

Катушка, не проявляющая магнитного действия, имеет, вероятно, намотку, выполненную сложенным вдвое проводом. В таком случае токи в соседних прилегающих друг к другу витках текут в противоположных направлениях и их магнитные поля, понятно, взаимно гасятся.

В доль жесткого провода, по которому пропускается переменный ток от городской сети, расположена мягкая тонкая металлическая нить. В одном случае через нить пропускается также переменный ток от городской сети. В другом случае через нить пропускается постоянный ток. Что будет происходить с нитью в одном и в другом случаях?

В первом случае направление тока в проводе и в нити меняется одновременно. Поэтому в зависимости от того, как будут присоединены концы нити к сети, направления токов в нити и в проводе в каждый момент будут либо одинаковы, и тогда нить притянется к проводу, либо противоположны, и тогда нить оттолкнется от провода.

Во втором случае в течение одного полупериода направления токов будут совпадать, а в течение следующего полупериода они будут противоположны, поэтому нить будет то притягиваться к проводу, то отталкиваться от него, т.е. будет совершать колебания около положения равновесия; частота колебаний будет равна частоте переменного тока городской сети.

Д ан каркас из однородной проволоки в форме куба (см. рис.). К противоположным концам диагонали куба подводится постоянное напряжение. По ребрам куба текут токи. Чему равна индукция магнитного поля в центре куба?

Очевидно, что для любого ребра куба можно найти в соответствующей диагональной плоскости другое ребро, в котором течет такой же по силе и направлению ток. Эти токи дают в центре куба равные, но противоположно направленные индукции магнитного поля, а потому результирующая индукция магнитного поля будет равна нулю.

П рямолинейный проводник начинает двигаться с возрастающей скоростью, пересекая линии индукции однородного магнитного поля, направленного перпендикулярно плоскости чертежа. В одном случае концы проводника замкнуты на омическое сопротивление R (рис. а). В другом случае последовательно с таким же омическим сопротивлением включена катушка индуктивности L (рис. б). Во что в обоих случаях превращается работа, затрачиваемая на перемещение проводника? В каком из этих двух случаев при одинаковом перемещении будет совершена большая работа?

В первом случае работа, совершаемая при перемещении проводника, превращается целиком в джоулево тепло, выделяющееся в сопротивлении R; во втором случае часть совершаемой работы идет на увеличение магнитной энергии поля, возникающего вокруг катушки индуктивности.

Работа, совершенная при перемещении проводника в единицу времени, равняется εI, где ε – одинаковая в обоих случаях электродвижущая сила, возникающая вследствие перемещения проводника в магнитном поле, I – ток в контуре. Однако в первом случае ток I₁ больше, чем ток I₂ во втором, т.к. ЭДС индукции замедляет нарастание тока. Следовательно, и работа в единицу времени εI₁ > εI₂ .

Это справедливо также и для равномерного движения проводника, но только до установления в контуре стационарного тока, после чего наличие самоиндукции в цепи уже никак не сказывается.