Решение

С хема участка цепи показана на рисунке. Поскольку лампа горит нормальным накалом, то мощность тока, выделяющаяся на ней равна номинальной мощности лампы Р_л, а значит, можно найти ток, протекающий через лампу

J_л = (Р_л/R_л)^1/2.

Поскольку лампа и плитка соединены параллельно, то J_лR_л = J_плR_пл. Отсюда

J_пл = (R_л/R_пл)(Р_л/R_л)^1/2 = 1.2 А.

Тогда мощность тока, выделяемая на плитке, равна

P_пл = J_пл² R_пл = P_л(R_л/R_пл) = 130 Вт.

Мощность тока в соединительных проводах равна

ΔР = J²R_пр = (J_л + J_пл)²R_пр, где R_пр = ρ(L/S).

Окончательно для потери мощности в проводах получим

ΔР = ρ(L/S)(P_л/R_л)[1 + (R_л/R_пл)]² = 4.6 Вт.

1 6. В плоский конденсатор с квадратными пластинами вдвигается с постоянной скоростью v металлическая пластина. Конденсатор включен последовательно с резистором, имеющим сопротивление R, и с источником тока, ЭДС которого равна ε (см. рис.). Найти установившуюся мощность, выделяющуюся на резисторе. Расстояние между пластинами конденсатора равно d_o. Площадь вдвигаемой пластины равна площади пластин конденсатора L×L, а ее толщина равна d. (Меледин, 3.92)

Ответ: P = ε²R/{R + (d_o – d)d_o/(ε_oLvd)}².

Решение

П усть пластина вошла в конденсатор на расстояние х, тогда образовавшуюся систему можно рассматривать как два параллельно соединенных конденсатора с площадями L×x и L×(L – x). При этом, первый из этих конденсаторов, в свою очередь, можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора с расстояниями между пластинами z и d_o – d – z, где z – расстояние от вдвигаемой пластины до одной из пластин конденсатора. Емкость первого конденсатора найдем из соотношения

1/C₁ = z/(ε_oLx) + (d_o – d – z)/(ε_oLx) = (d_o – d )/(ε_oLx) →

C₁ = ε_oLx/(d_o – d ).

Емкость второго конденсатора равна

C₂ = ε_oL(L – x)/d_o.

Изменение заряда на этой системе конденсаторов при увеличении расстояния x на Δх = vΔt будет равно

Δq = IΔt = U(ΔC₁ + ΔC₂) = Uε_oL [Δx/(d_o – d) - Δx/d_o) = Uε_oLΔxd/[(d_o – d)d_o] =

= Uε_oLvΔtd/[(d_o – d)d_o].

Или

I = Uε_oLvd/[(d_o – d)d_o].

где U = ε – IR – напряжение на конденсаторе, I – ток в цепи. Разрешая это уравнение относительно тока, получим

I = ε/{R + (d_o – d)d_o/(ε_oLvd)}.

Отсюда для мощности, выделяющейся в виде теплоты на резисторе, имеем

P = I²R = ε²R/{R + (d_o – d)d_o/(ε_oLvd)}².

17. Металлический шар, находящийся в вакууме и удаленный от окружающих предметов, заземлен через резистор, имеющий сопротивление R. На шар налетает пучок электронов, скорость которых вдали от шара равна v, так что на шар попадает n_t электронов в единицу времени. Какое количество теплоты выделяется в шаре в единицу времени? Масса и заряд электрона равны m и е. (Меледин, 3.103)

Ответ: Q_t = n_t ½ mv²[1 - 2n_te²R/(mv²)] при ½ mv² > n_te²R; Q_t = 0 при ½ mv² ≤ n_te²R.

Решение

По закону сохранения энергии в шаре в единицу времени выделяется количество теплоты Q_t, равное разности энергии попавших на шар n_t электронов и тепловой энергии J²R, выделившейся на резисторе с сопротивлением R в единицу времени:

Q_t = n_t ½ mv² – J²R,

где J = n_te. Отсюда

Q_t = n_t ½ mv²[1 - 2n_te²R/(mv²)].

Отметим, что выделенное в шаре тепло, фактически, связано с неупругим соударением электронов с поверхностью шара. Однако, данное рассмотрение справедливо только в том случае, если электроны достигают шара, т.е. если выполняется неравенство

½ mv² > eφ > n_te²R,

где φ = JR = n_teR – потенциал шара.

В противном случае, т.е. при ½ mv² ≤ n_te²R, выделенное в шаре тепло будет равно нулю

Q_t = 0 при ½ mv² ≤ n_te²R

Физически, в этом случае электроны достигают шара с нулевой скоростью (при ½ mv² = n_te²R) либо вообще не достигают его (при ½ mv² < n_te²R).

18. Две константановые проволоки одинаковой длины, диаметр одной из которых вдвое больше диаметра другой, включены параллельно в электрическую цепь. Во сколько раз отличаются их тепловые удлинения при длительном протекании тока в цепи? Теплоотдача с единицы поверхности пропорциональна разности температур проволоки и воздуха. Зависимостью сопротивления проволоки от температуры пренебречь. Как изменится ответ, если проволоки включить последовательно?

Ответ: При параллельном соединении удлинение толстой проволоки будет в 2 раза больше. При последовательном – в 8 раз меньше.

Параллельное включение. U²/R = kSΔT,

R = ρL/( ¼ πd²), S = πdL. → ΔL₁/ΔL₂ = ΔT₁/ΔT₂ = d₁/d₂ = 2.

Последовательное включение. J²R = kSΔT

ΔL₁/ΔL₂ = ΔT₁/ΔT₂ = (d₂/d₁)³ = 8.

Таким образом, при параллельном соединении удлинение толстой проволоки будет в 2 раза больше. При последовательном – в 8 раз меньше.

1 9. Между обкладками плоского конденсатора расположена диэлектрическая пластина (ε = 3), заполняющая весь объем конденсатора. Конденсатор через резистор подключен к батарее с ЭДС U = 100 В (см. рис.). Пластину быстро удаляют ток, что заряд на конденсаторе не успевает измениться. Какая энергия выделится после этого в цепи в виде теплоты? Емкость незаполненного конденсатора С_о = мкФ.

Ответ: Q = ½ C_oU²(1 – ε)².

q₁ = εC_oU, W₁ = ½ (εC_oU)²/C_o = ½ C_o(εU)².

q₂ = C_oU, W₂ = ½ C_oU². ΔW = ½ C_oU²(1 – ε²), A = C_oU²(1 – ε).

A = ΔW + Q → Q = A – ΔW = ½ C_oU²(1 – ε)².

2 0. Зарядку конденсатора емкостью С до напряжения 2ε производят двумя способами (см. рис.): либо ключ К сразу ставят в положение 3, либо его сначала ставят в положение 2 и затем, после зарядки конденсатора до напряжения ε, переводят в положение 3. Найдите отношение КПД батареи при различных способах зарядки.

Ответ: η₂/η₁ = 4/3.

Первый способ. q₁ = 2Cε, W₁ = 2Cε², A₁ = 4Cε², η₁ = W₁/A₁ = ½ .

Второй способ. W₂ = W₁. a) q_a = Cε, A_a = Cε².

b) q_b = Cε, A_b = 2Cε².

A₂ = A_a + A_b = 3Cε². η₁ = W₁/A₂ = 2/3. η₂/η₁ = 4/3.