Решение.

Обозначим через R₁ и R₂ величины сопротивлений соответственно первого и второго отрезков проволоки, через U – разность потенциалов на их концах. На основании условия теплового равновесия имеем

U²/R₁ = kdl,

U²/R₂ = kDL,

где k – некоторый коэффициент пропорциональности, L – длина второй проволоки. Отсюда

R₁/R₂ = DL/ (dl).

С другой стороны,

R₁ = ρl/(πd²/4),

R₂ = ρL/(πD²/4),

где ρ – удельное сопротивление материала проволок. Из этих соотношений находим

R₁/R₂ = lD²/Ld².

Сравнивая два полученных выражения для отношения сопротивлений, получим окончательно

L = l(D/d)^1/2.

12. Какой ток пойдет по подводящим проводам при коротком замыкании, если на каждой из плиток, имеющих сопротивления R₁ = 200 Ом и R₂ = 500 Ом, при поочередном раздельном включении выделяется одинаковая мощность Р = 200Вт?

Ответ: I = 1.6 A.

Решение.

Ток короткого замыкания равен

I = U/r,

где U – напряжение в сети, r – сопротивление подводящих проводов. Значения U и r можно найти из условия, что на двух сопротивлениях R₁ и R₂ выделяется одинаковая мощность

R₁ [U/(R₁ + r)]² = P,

R₂ [U/(R₂ + r)]² = P,

Отсюда r = (R₁R₂)^1/2 = 316 Ом , U = 516 В и таким образом I =1.63 A.

13. Имеются четыре тонкие проволочные спирали, каждая из которых рассчитана на мощность не более 2 Вт. Сопротивления спиралей 10, 20, 30 и 40 Ом. Как из этих спиралей составить нагреватель, в котором источник с ЭДС ε = 20 В и внутренним сопротивлением r = 25 Ом будет развивать наибольшую мощность?

Решение.

Мощность Р нагревателя с сопротивлением R определяется формулой

P = I²R = ε²R/(R + r)²,

где ε – ЭДС источника, r – его внутреннее сопротивление. Эта мощность максимальна при R = r.

Т аким образом, рассматриваемый нагреватель будет иметь максимальную мощность, если его сопротивление сделать близким или равным 25 Ом. Для этого спирали нужно соединить так, как показано на рисунке. Нетрудно убедиться, что мощность каждой спирали при этом не будет превышать 2 Вт.

14. Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них он закипает через время t₁, при включении другой – через время t₂. Через какое время закипит чайник, если обмотки соединить последовательно или параллельно?

Ответ: t_посл = t₁ + t₂ , t_пар = t₁t₂/(t₁ + t₂).

Решение.

Так как чайник во всех случаях включается в одну и ту же электрическую сеть, удобнее применять формулу для количества выделенной теплоты в форме

W = (U²/R)t.

Отсюда

R = (U²/W)t.

Так как U и W одни и те же для всех случаев, последнее равенство можно переписать в виде

R = αt,

где α = U²/W.

Обозначая через R₁ и R₂ сопротивления обмоток, имеем

R₁ = αt₁ и R₂ = αt₂ .

При параллельном соединении обмоток

R = R₁R₂/(R₁ + R₂) = αt₁t₂/(t₁ + t₂) = αt_пар.

При последовательном соединении

R = R₁ + R₂ = α/(t₁ + t₂) = t_посл.

Отсюда

t_посл = t₁ + t₂ , t_пар = t₁t₂/(t₁ + t₂).

15. Участок электрической цепи состоит из лампы сопротивлением R_л = 200 Ом, рассчитанной на мощность Р_л = 60 Вт, электроплитки сопротивлением R_пл = 90 Ом, включенной параллельно лампе, и соединительных проводов длиной L = 10 м с площадью поперечного сечения S = 0.8 мм², сделанных из стали. Накал лампочки нормальный. Найти силу тока J₂ в плитке, потерю мощности ΔР на соединительных проводах и мощность тока Р_пл в электроплитке. Удельное сопротивление стали ρ = 1.2^.10^-7 Ом^.м. (Касаткина с.229)

Ответ: J_пл = 1.2 А, Р_пл = 130 Вт, ΔР = 4.6 Вт.