Решение.

Составляющие скорости тел вдоль осей x и y в любой момент времени определяются так:

v_1y = v_osinα₁ – gt,

v_1x = v_ocosα₁

v_2y = v_osinα₂ – gt,

v_2x = v_ocosα₂.

Пусть u – скорость первого тела относительно второго. Тогда

u_y = v_osinα₁ – gt - v_osinα₂ + gt = v_o(sinα₁ - sinα₂),

u_x = v_o (cosα₁ - cosα₂).

Следовательно,

u = (u_x² + u_y²) = 2v_ocos[(α₁ + α₂)/2].

Тела движутся относительно друг друга с постоянной скоростью. По прошествию времени t расстояние между ними

s = 2v_o tcos[(α₁ + α₂)/2].

3. За телом, брошенным под углом α к горизонту, наблюдают в оптическую трубу, установленную в точке бросания. При каких углах α в движении тела будут наблюдаться моменты, когда его скорость перпендикулярна оси трубы?

Ответ: cosα ≤ 1/3 .

Решение.

В любой момент времени труба составляет с горизонтом угол β такой, что

tgβ = y/x,

где координаты тела равны

y = (v_osinα) t – ½ gt² , x = (v_ocosα) t.

Скорость тела составляет с горизонтом угол φ, причем

tgφ = (v_osinα–gt )/ (v_ocosα) t.

По условию

β – φ = ½ π.

Воспользовавшись формулой

tg (β – φ) = (tg β - tg φ)/(1 + tgβ tg φ),

придем к уравнению

g² t² - 3(v_osinα)gt + 2v_o² = 0.

Отсюда

t = (v_o/2g) [3sinα ± (1 - 9cos²α)^1/2]^.

Это выражение имеет смысл (дает два разных или одинаковых действительных значениях t) лишь при cosα ≤ 1/3 .

4. Скорость течения реки возрастает пропорционально расстоянию от берега, достигая своего максимального значения v_o на середине реки. У берегов скорость течения равна нулю. Лодка движется по реке таким образом, что ее скорость u относительно воды постоянна и перпендикулярна течению. Найти расстояние, на которое будет снесена лодка при переправе, если ширина реки равна d. Определить также траекторию лодки. (Буховцев, 1987, № 38)

Ответ: S = v_od/ (2u).

Решение.

Т очку А отправления лодки примем за начало отсчета системы координат. Направление осей показано на рисунке. Движение лодки перпендикулярно течению происходит с постоянной скоростью u. Поэтому лодка будет находиться на расстоянии y от берега через время t = y/u после отправления. Рассмотрим движение лодки до середины реки (y ≤ 1/2d). На расстоянии y от берега скорость течения реки равна

v = (2v_o/d)y.

Отсюда получим

v = 2v_out/d.

Из последнего соотношения следует, что движение лодки в направлении, параллельном берегам, происходит с постоянным ускорением

a = 2v_ou/d.

Лодка достигает середины реки за время Т = d/(2u). За это же время она будет снесена вниз по течению на расстояние

S_1/2 = ½ aT² = v_od/ (4u).

При движении от середины реки до противоположного берега лодка будет снесена дополнительно еще на расстояние S_1/2 . Таким образом, искомое расстояние равно

S = v_od/ (2u).

При движении лодки до середины реки

x = ½ at² = (v_ou/d)t² , а y = ut. Из этих соотношений определим траекторию лодки от А до D:

y² = (du/v_o) x (парабола).

Вторая половина траектории имеет тот же характер, что и первая.

5. Из точки А вертикально вверх брошен камень со скоростью v = 10 м/с. Через какое время следует бросить с той же по модулю скоростью второй камень из точки В под углом α = 45^о к горизонту, чтобы он попал в первый камень? Точки А и В расположены на одной горизонтали. Расстояние между ними L = 4 м.

Ответ: τ = 1.2 c.