2. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Основным методом нахождения интегралов от тригонометрических функций является метод подстановки. В некоторых случаях метод подстановки применяется после предварительного преобразования подынтегральной функции с помощью известных из тригонометрии формул.

1. Интегралы вида с помощью универсальной тригонометрической подстановки сводятся к интегралу от рациональной функции аргумента t .

В некоторых частных случаях проще применять другие подстановки, кроме универсальной.

1. Для вычисления интеграла вида применяют подстановку

2. Для вычисления интеграла вида применяют подстановку

3. Для вычисления интеграла вида применяют подстановку

4. Если , т.е. если при одновременном изменении знака y и значение функции R не меняется, применяют подстановку .

5. Если , то применяемая подстановка зависит от того, какие показатели m и n входят в функцию R. Возможны следующие случаи:ъ

1. - нечётное число, применяется подстановка

2. - нечётное число, применяется подстановка

3. – чётные неотрицательные числа, применяют формулы понижения степени

после данных преобразований подынтегральная функция сводится к виду случаев а), b) или c),но уже с меньшими показателями степени,

4. – чётные, причём хотябы одно из этих чисел отрицательно, - применяется подстановка .

2. Для интегрирования произведений синусов ж косинусов различных аргументов применяются следующие тригонометрические формулы:

Пример 13. Найти

Преобразуем подынтегральную функцию:

Тогда окончательный результат примет вид:

Пример 14. Найти

Этот интеграл преобразуем с помощью подстановки и .

Последний интеграл относится к типу п.5а. Применим подстановку . Тогда и .

Окончательно получаем: .

Замечание! При вычислении интеграла можно было ограничится подстановкой .

Пример 15. Найти .

Воспользуемся универсальной триганометрической подстановкой . При этой подстановке заменяются следующими выражениями:

Подставив эти соотнощения в исходный интеграл, получим: .

Пример 16. Найти .

Для подынтегральной функции , справедливо равентсво: , поэтому воспользуемся подстановкой . Для этого предварительно разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения и воспользуемся тем, что : .

6. Интегрирование иррациональных функций.

Для нахождения интегралов от функций, содержащих выражения , как правило, применяют следующие тригонометрические (или гиперболические) подстановки:

1. если в подынтегральную функцию входит выражение вида , то применяют подстановки , (или )

2. если в подынтегральную функцию входит выражение вида , то применяют подстановки , (или )

3. если в подынтегральную функцию входит выражение вида , то применяют подстановки , (или )

Интеграл вида сводится (выделением полного квадрата в подкоренном выражении и преобразованием выражения к виду к одному из трёх перечисленных выше типов.

Пример 17. Найти .

Подынтыгральная функция содержит , т.е. относится ко второму из выше указаных типов. Применим подстановку . Тогда .

Знак определяется четвертью, в которой лежит переменная t.

.

При возвращении к переменной х мы пользовались тем, что .

Пример 18. Найти .

Подынтегральная функция относится к третьему типу, поэтому применим подстановку . Тогда , .

.

Выбор знака определяется той четвертью, в которой лежит переменная t. Последний интеграл найдём с помощью подстановки : .

Таким образом,

Переходя к переменной х, мы воспользовались тем, что