2. Действия на комплексными числами

Алгебраические дествия над комплексными числами и выполняются по формулам:

; (5)

; (6)

; (7)

Если , , то умножение комплексных чисел и в триганометрической форме определяется равенством (8)

Возведение в степень комплексного числа определяется равенством , (9)

При этом ; . (10)

Операция извлечения корня n-ой степени из комплексного числа определяет n различных комплексных значений по формуле (11)

Точки расположены в вершинах правильного многоугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом .

Пример 3. а) решить уравнение Значение корней хаписать в триганометрической, алгебраической и показательной формах. Изобразить решение на комплексной плоскости.

б) вычислить сумме двух первых корней . Результат записать в показательной форме.

Решение. а) перепишем уравнение следующим образом .

Число запишем в триганометрической форме , так как

Тогда по формуле (9), пологая , получим , откуда 1) ;

2) ;

3) .

Все три корня расположены на окружности радиуса 3/2 и являются вершинами правильного треугольника (рис.3).

б) Вычислим сумму ( ) . Сложение выполняем в алгебраической форме: .

Чтобы записать результат в показательной форме, найдём модуль и аргумент полученной суммы:

.

Отсюда имеем ;

Из чертежа видно, что точка ( ) лежит во второй четверти. Поэтому . В результате имеем .

Вопросы для самомпроверки.

1. Как геометрически представляют комплексные числа?

2. Что называется, действительной и мнимой частью комплексного числа?

3. Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

4. Какова связь между алгебраической, показательной и тригонометрической формами комплексного числа?

5. Как умножаются и делятся комплексные числа в тригонометрической форме?

6. Как определяется n-я степень комплексного числа?

7. Напишите формулу для извлечения корня n -й степени из комплексного числа.

8. Напишите формулу Эйлера.

Раздел 2. Неопределённый интеграл.

Литература

Л.1.1. (гл.3 ст.145-171)

Л.1.2. (ст.96-115)

Л.1.3. (Демидович №1031-1500(выборочно))

Вопросы, подлежащие изучению

1. Неопределенный интеграл, первообразная, ее простейшие свойства. Таблица основных интегралов.

2. Непосредственное интегрирование функций, интегрирование по частям и подстановкой.

3. Интегрирование рациональных дробей, некоторых иррациональных функций.

4. Интегрирование рациональных дробей и иррациональных функций, содержащих квадратный трехчлен.

5. Интегрирование тригонометрических функций.

6. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок.

7. Интегрирование гиперболических функций.

В предыдущем семестре мы в основном занимались следующей задачей: по данной функции F(x) надо было найти ее производную f(х) = F`(х) . Изучив основные приемы дифференцирования, мы встретились с некоторыми важными приложениями понятия производной (нахождение экстремумов функций, уравнений касательных, скоростей и т.д.), узнали, что не все функции дифференцируемы (например, функция у = |x| в точке х = 0), что из дифференцируемости следует непрерывность.

Теперь мы переходим к следующему гораздо более сложное и не менее важному разделу высшей математики. - интегральному исчислению. Основная задача интегрирования прямо противоположна соответствующей задаче дифференциального исчисления: по данной производной f(х) некоторой неизвестной функции F (х) на данном интервале (а,в) найти саму эту функцию F(х) на этом интервале (мы, как правило, будем считать, что (а,в) = ).