3.8.8. Вычисление площади поверхности тела вращения
Площадь
поверхности тела, образованного вращением
вокруг оси ОХ криволинейной трапеции,
ограниченной осью ОХ, прямыми
и графиком неотрицательной непрерывной
дифференцируемой функции y=f(x)
(см.рис.15) вычисляется по формуле:
.
Пример
12. Найти площадь поверхности, образованной
вращением кривой
вокруг отрезка [0,π] оси ОХ (рис.19).
Решение.
Напомним основное тригонометрическое
тождество для гиперболических функций:
и формулы Эйлера:
.
Имеем:
3.9. Несобственные интегралы
При определении интеграла мы предполагали, что отрезок [a,b] конечен и функция f(x) на этом отрезке определена и ограничена. Если одно из этих условий нарушено, то интеграл называется несобственным интегралом. Если нарушено условие конечности границ отрезка [a,b] , то получим интеграл с бесконечными пределами интегрирования (несобственный интеграл 1 рода), если же нарушено условие ограниченности функции на отрезке [a,b] , получим интеграл от неограниченной функции (несобственный интеграл 2 рода).
3.9.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (1 рода)
Пусть
функция f(x)
непрерывна на интервале [a,b].
Тогда предел
называется несобственным интегралом
с бесконечным верхним пределом и
обозначается
.
Таким образом
.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если бесконечен или не существует, расходящимся.
Аналогично определяется интеграл с бесконечным нижним пределом:
и интеграл с
бесконечными пределами интегрирования:
.
Приведем примеры вычисления несобственных интегралов 1 рода и доказательства их расходимости при помощи определения.
Пример
13. Исследовать на сходимость несобственный
интеграл
и
в случае сходимости вычислить его
значение.
Решение.
По определению имеем:
,
то есть интеграл сходится и равен
.
При
решении этого примера мы воспользовались
тем, что
.
Замечание.
Геометрически это означает, что площадь
неограниченной области, расположенной
между графиком функции
и осью ОХ,
(рис.20) конечна и
равна
.
Пример
14. Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение.
По определению имеем:
,
то есть интеграл расходится.
Здесь
мы воспользовались методом подведения
под знак дифференциала
и тем, что
В тех случаях, когда требуется установить сходимость или расходимость несобственного интеграла, не вычисляя его значения, удобно пользоваться следующими признаками сравнения для несобственных интегралов 1 рода.
Теорема
4. Пусть для всех х из интервала
выполняется неравенство:
.
Тогда:
а)
если интеграл
сходится, то сходится и интеграл
;
б) если расходится интеграл сходится, то расходится и интеграл
Теорема
5. Пусть для всех х из интервала
выполняется неравенство:
.
Тогда если сходится интеграл сходится, то сходится и интеграл .
Пример
15. Исследовать сходимость интеграла
.
Решение.
Оценим подынтегральную функцию снизу
на интервале [3,+
):
.
Интеграл
является расходящимся, поэтому в силу
теоремы 4 расходится и исходный интеграл.
Определение.
Несобственный интеграл 1 рода называется
абсолютно сходящимся, если сходится
интеграл
и
условно сходящимся, если интеграл
сходится, а
расходится.
Заметим, что интеграл в примере 14 является абсолютно сходящимся.
Замечание.
Для исследования сходимости интеграла
надо исследовать сходимость каждого
интеграла в правой части равенства
.
Если оба интеграла сходятся, исходный интеграл будет сходящимся, если хотя бы один расходится - расходящимся.
Теорема
6. Пусть на интервале [а,+
)
выполняются следующее условия, функции
f(x) и g(x)
неотрицательны и непрерывны,
.
Тогда:
Если
и интеграл
сходится, то интеграл
также сходится.Если и интеграл расходится, то интеграл также расходится.
В
частности, если
то есть
,
то интрегралы
сходятся и расходятся одновременно.
Замечание.
Для сравнения с подынтегральной функцией
часто удобно использовать функцию
,
пользуясь тем, что
сходится при α>1 и расходится при
.
Пример
16. Исследовать на сходимость интеграл
эквивалент функции
при
.
Действительно,
.
Значит
в силу теоремы 6 исходный интеграл ведет
себя так же, как интеграл
,
который сходится (см. замечание к теореме
6), следовательно сходится и исходный
интеграл.
Пример
17. Исследовать на сходимость
Решение.
Подынтегральная функция
эквивалентна функции
. Действительно:
,
так как
А
так как интеграл
расходится (см. замечание к теореме 6),
то исходный интеграл также расходится.