Раздел I. Комплексные числа

Вопросы, подлежащие изучению

1. Комплексные числа, их изображение на плоскости.

2. Алгебраические действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа.

3. Сопряженные комплексные числа, формулы Эйлера.

1. Рассмотрим различные формы записи комплексных чисел. Запись комплексного числа z в виде (1) называется алгебраической формой комплексного числа, при этом х и у – действительные числа, – мнимая единица, определяемая условием . Сопряженное комплексное число есть .

К омплексное число изображается как точка М на координатной плоскости х0у с координатами (х,у), либо как вектор, ищущий из начала координат, с проекциями {x,y} при этом (1) рассматривается как разложение вектора Z по осям координат (рис.1.). Проекция х и у называются действительной и мнимой частью комплексного числа Z и обозначаются Таким образом,

Наряду с представлением комплексного числа в форме (1) удобно пользоваться его представлением в полярных координатах. Если r и φ - полярные координаты точки , то . (2)

Выражние (2) называется триганометрической формой комплексного числа, при этом величина к назывется модулем комплексного числа z и равна , (3), а величина называется аргуметом комплексного числа и обозначается , при этом – главное значение аргумента такое, что .

При нахождении угла из последнего соотношение надо учитывать четверть, в которой находится угол .

Пример 1. Записать комплексное число z=-1+i в триганометрической форме.

Решение. Для заданного числа z=-1+i имеем

Тогда

Отсюда или .

Очевидно, что угол лежит во второй четверти, так как точка z находится во второй четверти. Поэтому .

В итоге имеем .

Сопряженное комплексное число в триганометрической форме записывается так: , при этом , .

При z=0 модуль |z|=0, а величина не определена.

Применяя формулу Эйлера , комплексное число можно записать в показательной форме: . (4)

Необходимо уметь переходить от показательной формы комплекс­ного числа к тригонометрической и алгебраической формам и обратно. При рассмотрении разности двух комплексных чисел необходи­мо иметь в виду, что модуль этой разности имеет геометрический смысл окружности с центром в точке и радиусом ρ, так как по определению .

Но или .

Полученное алгебраическое выражение есть уравнение окружности радиуса в плоскости х0у с центром в точке . Неравенство описывает тогда множество точек, лежащих внутри указанной окружности и на самой окружности, а неравенство есть множество точек, лежащих вне указанной окружности.

Пример 2. На комплексной плоскости начертить область, удовлетворяющую условиям ;

Решение. Неравенство выделяет на плоскости кольцо с центром в точке с внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 3, причем внутренняя окружность принадлежит заданной области, а внешняя - не принадлежит (рис. 2а).

Второе условие выделяет сектор с центром в точке с лучами и , причём оба луча принадлежат области (рис.2б).

Третье условие выделяет из сектора кольца A,B,C,D ту его часть, для точек которой справедливо неравенство х<0.5 ,причем граница области не принадлежит (рис. 2в).

Четвертое условие выделяет из сектора кольца A,B,C,D ту его часть, для точек которой справедливо неравенство , причём граница принадлежит области (рис.2г).