2.1. Первообразная. Свойства неопределенного интеграла.

В этом случае функция F(х) называется первообразной от функции f(х). Совокупность всех первообразных функции -f(х)(их вообще говоря бесконечно много) называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается .

Нетрудно показать, однако, что любые две первообразные и данной функции f(x) отличаются лишь на константу ,. т.е. . Верно и обратное: если - первообразная функции , то и - первообразная той же функции для любого числа С.

Таким образом, для нахождения неопределенного интеграла от данной функции f(х) достаточно найти лишь одну (любую!) первообразную F(х) от нее, а все остальные получаются сдвигом на константу, т.е.

Заметим сразу, что так как не всякая функция является производной некоторой функции, то и определен не для всякой функции. Однако если - непрерывна, то интеграл су­ществует. Таким образом,

Этого свойства нам будет вполне достаточно в дальнейшем, так как мы будем находить только интегралы от непрерывных функций.

Перейдем теперь непосредственно к технике интегрирования, необходимой для выполнения контрольных работ и для дальнейшего изучения математики. Попутно мы будем кратко (все свойства без доказательств!) останавливаться на некоторых теоретических моментах и акцентировать внимание на важнейших практических приемах интегрирования. Для более полного ознакомления с предметом необходимо, разумеется, ознакомление с соответствующими разделами из литературы, указанной в начале этой теш (возможно использование и других источников).

Для того, чтобы научиться более или менее свободному владению техникой интегрирования, необходимо, в первую очередь выучить наизусть (!) таблицу простейших интегралов, которая приводится в любом пособии по высшей математике и является как бы "таблицей простейших производных - наоборот" (так как производная от правой части должна дать подынтегральное выражение в левой части). Поэтому запомнить их не очень сложно, хотя среди них встречаются четыре интеграла, которые запоминаются, как правило, не сразу. В силу этого мы приведём их отдельно (во второй рамке мы используем неравенство |a-x|=|x-a|):

, , , .

Отметим теперь некоторые простейшие свойства неопределенного интеграла:

1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции F(х) равен F(х) + С , где С пробегает все действительные числа, т.е.

2. Интеграл от суммы (соответственно разности) двух функций равен сумме (соответственно разности) их интегралов, т.е. .

3. Постоянный множитель можно вносить за знак интеграла, т.е. .

4. .

Пример 1. , осталось воспользоваться свойством 4 и табличным интегралом .

Пример 2.

В предпоследнем равенстве мы воспользовались табличными интегралами , а также свойством 4.

Перед тем как перейти к изучению двух важнейших методов интегрирования - методу подстановки и методу интегрирования по частям - обязательно нужно вспомнить понятие дифференциала функции, умение применять которое необходимо в обоих методах.

Дифференциал функции φ(х) (обозначается dφ(x))есть произведение ее производной на дифференциал переменной x, или что то же на приращение переменной х (обозначается , а чаще - ), т.е.

Весьма полезно знать некоторые наиболее чаото встречающиеся в интегрировании выражения, являющиеся дифференциалами: и др.