2.6. Прогнозирование неизвестных значений зависимого признака y

Если модель регрессии значима в целом, предположение о незначимости отклоняется по всем параметрам функции регрессии, не нарушены предпосылки МНК, то модель может быть использована для анализа и прогнозов количественного показателя экономики.

Условно «лучшей» моделью для анализа и прогнозов исследуемого показателя можно считать ту, для которой:

• показатель детерминации – выше,

• стандартная ошибка – меньше,

• доверительный интервал прогноза уже.

Различают точечный и доверительный (интервальный) прогнозы моделируемого показателя (y).

Точечный прогноз показателя определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения .

Интервальный прогноз показателя с заданной доверительной вероятностью (P1) имеет вид:

, где .

Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

и строится доверительный интервал прогноза

.

2.7. Примеры решения задач

Задача 1. При исследовании 8 магазинов получены следующие данные (табл.3).

1. Построить регрессионную модель зависимости объема товарооборота от числа работников.

2. Проверить значимость модели и коэффициентов модели.

3. Рассчитать коэффициент эластичности и дать ему экономическую интерпретацию.

4. Построить 95% доверительный интервал для оценки объема товарооборота отдельного магазина со 100 работниками.

Таблица 3. Исходные данные к Задаче 1.

Наблюдение	Объем товарооборота, млн. руб.	Число работников
1	0,5	73
2	0,7	85
3	0,9	102
4	1,1	115
5	1,4	122
6	1,4	126
7	1,7	134
8	1,9	147

Решение:

1. Проведем спецификацию модели графическим методом.

Поскольку необходимо найти зависимость объема товарооборота от числа работников, то в качестве Y – принимаем Объем товарооборота, X- Число работников.

Рисунок 2. Спецификация модели

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Для оценки параметров a и b - используют МНК (метод наименьших квадратов).

2. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние:

,

Таблица 4. Расчет параметров модели

	x	y	x2	y2	x•y
1	73	0.5	5329	0.25	36.5
2	85	0.7	7225	0.49	59.5
3	102	0.9	10404	0.81	91.8
4	115	1.1	13225	1.21	126.5
5	122	1.4	14884	1.96	170.8
6	126	1.4	15876	1.96	176.4
7	134	1.7	17956	2.89	227.8
8	147	1.9	21609	3.61	279.3
сумма	904	9.6	106508	13.18	1168.6

Используя формулы (6) и (7), получаем коэффициенты регрессии:

b = 0.0192, a = -0.97. (b>0, следовательно связь прямая)

Уравнение регрессии: y = 0.0192 x - 0.97,

Величина коэффициента b говорит о том, что с ростом числа работников на 1 человека, объем товарооборота магазина будет увеличиваться на 0,0192 млн. руб.

3. Теснота связи.

Среднеквадратическое отклонение:

,

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

В нашем примере связь между признаком Y и фактором X (по шкале Чеддока) весьма высокая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Незначительные отклонения в расчетных величинах возможны из-за округления величин.

4. Коэффициент детерминации.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (модельные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

=0,9712,

т.е. в 97.12 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 2.88 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Таблица 5. Расчет промежуточных величин для оценки качества модели

	(yi-ycp)2	(y- )2	(xi-xcp)2	|y - |/y
0.43	0.49	0.004832	1600	0.14
0.66	0.25	0.001495	784	0.0552
0.99	0.09	0.007812	121	0.0982
1.24	0.01	0.0192	4	0.13
1.37	0.04	0.000721	81	0.0192
1.45	0.04	0.002509	169	0.0358
1.6	0.25	0.009217	441	0.0565
1.85	0.49	0.002108	1156	0.0242
9.6	1.66	0.0479	4356	0.55

5. Критерий Фишера.

.

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=6 (8-1-1), F_табл = 5.99

Поскольку фактическое значение F_факт > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

6. Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

7. Проверка статистической значимости параметров.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

- необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

- стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Стандартное отклонение случайной величины a:

Стандартное отклонение случайной величины b:

Поскольку 14.12 > 2.447, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 6.2 > 2.447, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

8. Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежностью 95% будут следующими:

(b – t_табл m_b; b + t_табл m_b) = (0.0192 - 2.447 • 0.00136; 0.0192 + 2.447 • 0.00136) =

= (0.0158;0.0225)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будет лежать в найденном интервале.

(a – t_табл m_a; a + t_табл m_a) = (-0.9739 - 2.447 • 0.156; -0.9739 + 2.447 • 0.156) =

= (-1.356;-0.5922)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будет лежать в найденном интервале.

9. Коэффициент эластичности.

Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.

Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.

10. Интервальный прогноз.

Точечный прогноз показателя определяется путем подстановки в уравнение регрессии 0.0192 x - 0.97 соответствующего прогнозного значения =100.

Далее вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза :

Строится доверительный интервал прогноза:

Задача 2. Имеются данные о количестве выпускаемой продукции в тыс. штук (x) и ее себестоимостью в у.е. (y).

Таблица 6. Исходные данные к Задаче 2.

№	X	Y		№	X	Y
1	2,50	4,40		8	6,00	1,50
2	3,00	3,60		9	6,50	1,40
3	3,30	3,00		10	7,00	1,30
4	4,00	2,70		11	7,50	1,20
5	4,60	2,10		12	8,00	1,10
6	5,00	1,80		13	8,50	1,10
7	5,40	1,90		14	8,90	0,90

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы.

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

3. Выбрать лучшую модель для прогноза.

Проведем спецификацию модели графическим методом.

Рисунок 3. Поле корреляции к Задаче 2.

Построим линейную и нелинейные регрессии и оценим их качество.