2.3. Оценка качества эконометрической модели

Проверить значимость уравнения регрессии - значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

На первый взгляд, подходящим измерителем тесноты связи от является коэффициент регрессии , ибо он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется , когда увеличивается на одну единицу. Однако зависит от единиц измерения переменных (например, он увеличится в 100 раз, если измерять не в метрах, а в сантиметрах).

Очевидно, что для использования как показателя тесноты связи, нужна такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой.

Таблица 1. Показатели качества модели

Линейная зависимость	Нелинейная зависимость
Показатели тесноты связи
Коэффициент корреляции	Индекс корреляции
, где ,
Показатели детерминации
Коэффициент детерминации	Индекс детерминации
F - критерий Фишера
Средняя ошибка аппроксимации

2.3.1.Коэффициент корреляции

Статистика применяет систему, которая использует в качестве единицы измерения переменной её среднее квадратическое отклонение .

Подставив правую часть равенства (7) в уравнение , получим:

т.о. .

В этой системе величина показывает, на сколько величин изменится в среднем , когда увеличится на одно . Величина является показателем тесноты связи и называется выборочным коэффициентом корреляции (коэффициентом корреляции).

Для практических расчетов наиболее удобна формула:

или (8)

Свойства коэффициента корреляции:

1) , т.к. ;

2) при , корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом все наблюдаемые значения располагаются на прямой.

3) при линейная связь отсутствует.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

Близость к нулю не означает отсутствия связи между признаками, она может оказаться достаточно тесной, но иметь нелинейную зависимость.

2.3.2. Коэффициент детерминации

Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дисперсионного анализа. Обозначим через - модельные, теоретически вычисляемые по формуле значения, тогда

(9)

Преобразуем формулу дисперсии с учетом вышеуказанной суммы:

(10)

Далее

(11)

Так как имеет место равенство ,

и из МНК следуют два соотношения , (12)

то

(13)

Введем обозначения:

TSS (total sum of sguares) – вся дисперсия: сумма квадратов отклонений от среднего.

RSS (regression sum of sguares) – объясненная часть всей дисперсии (обусловленная регрессией).

ESS (error sum of sguares) – остаточная сумма, дисперсия остаточная.

Коэффициентом детерминации, или долей объясненной дисперсии называется:

.

Для линейной регрессии: или .

Тогда, . Получившаяся формула есть дисперсия объясненная, факторная, тогда .

Отсюда, можно выразить индекс корреляции R для нелинейной регрессии

. (14)

Свойства коэффициента детерминации:

1) в силу определения .;

2) если , то регрессия ничего не дает, т.е. не улучшает качество предсказания , по сравнению с .

3) если , то лежат на линии регрессии и между и y существует линейная функциональная зависимость, т.е. абсолютное совпадение: .

2.3.3. F-КРИТЕРИЙ ФИШЕРА

Оценка качества уравнения регрессии состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого производится сравнение фактического и значений F-критерия Фишера-Снедекора. определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы

. (15)

где m – число степеней свободы, для парной регрессии m=1

- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости - это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно .

Если < , то - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Если > , то - гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.