3.2. Оценка параметров уравнения множественной регрессии

При оценке параметров уравнения регрессии применяется МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной составляющей

.

Система нормальных уравнений:

3.3. Множественная корреляция

Практическая значимость уравнения регрессии оценивается с помощью индекса множественной корреляции и его квадрата – коэффициента множественной детерминации.

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции.

Обозначим , тогда

, -при любой форме связи

где – общая дисперсия результативного признака,

– остаточная дисперсия для уравнения

где , так как .

Иначе, формула примет вид:

.

Отсюда следует 0≤R≤1.

Этот показатель характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с используемым признаком, т.е. оценивает тесноту связи совместного влияния факторов на результат.

При линейной зависимости признаков формула индекса корреляции имеет вид:

где – стандартизованные коэффициенты регрессии,

– парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Возможен иной подход к определению параметров, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе

, где

и - стандартизованные переменные, для которых среднее значение равно нулю , так как

а среднее квадратичное отклонение так как .

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, получим систему нормальных уравнений вида

Решая систему, найдем параметры.

Стандартизованные параметры – показывают, на сколько сигм изменится в среднем результат, если увеличить соответствующий фактор на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как централизованные и нормированные, то – коэффициенты регрессии сравнимы между собой. Сравнивая их, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов чистой регрессии, которые несравнимы между собой. Связь коэффициентов стандартизованных и нестандартизованных:

Для МНК имеем формулы:

Таким образом, в системе вычисляется коэффициент корреляции по формуле:

так как , , и он равен коэффициенту корреляции в стандартизованных переменных.

Стандартизованные коэффициенты регрессии связаны с коэффициентом регрессии и коэффициентом эластичности Э

,

где β_j – показывает, на сколько величин изменится в среднем y при увеличении только j-ой объясняющей переменной на .

Э – коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов от средней величины изменится в среднем y при увеличении только на один процент.