6. Тест на обнаружение автокорреляции

Одной из предпосылок регрессионного анализа является независимость случайного члена в любом наблюдении от его значений во всех других наблюдениях. Если данное условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции. В этом случае коэффициенты регрессии, полученные по МНК, оказываются неэффективными, хотя и несмещенными, а их стандартные ошибки рассчитываются некорректно.

Автокорреляция обычно встречается при использовании данных временного ряда. Стационарные временные ряды, это ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Временной ряд y_i (i = 1, 2, …, n) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей n наблюдений y₁, y₂, …, y_n такое же, как и n наблюдений при любых n, i, . Другими словами, свойства строго стационарных рядов y_i не зависят от i, т.е. от момента времени. Напомним, что в случае пространственной выборки отсутствие автокорреляции постулируется.

Тест Дарбина-Уотсона определяет наличие автокорреляции между соседними членами ряда.

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии корреляции первого порядка, т.е. H₀: r =0, где r – коэффициент корреляции между двумя соседними случайными членами Е_i и Е_i-1;

В качестве альтернативной гипотезы может выступать либо H₁: r >0, либо H₂: r <0.

Соответствующей оценкой коэффициента корреляции r является коэффициент автокорреляции остатков первого порядка, который при достаточно большом числе наблюдений имеет вид:

Введем величину _. Очевидно,

Естественно, что в случае отсутствия автокорреляции выборочный коэффициент r₁ окажется не сильно отличающимся от нуля, а значение статистики d будет близко к 2. Близость наблюдаемого значения к нулю должна означать наличие положительной автокорреляции, к четырем – отрицательной.

Тест Дарбина-Уотсона имеет один существенный недостаток – распределение статистики d зависит не только от числа наблюдений, но и от значений регрессоров x_j (j=1, …,p). Это означает, что тест Д-У, вообще говоря, не представляет собой статистический критерий, в том смысле, что нельзя указать критическую область, которая позволяла бы отвергнуть гипотезу об отсутствии корреляции, если бы оказалось, что в эту область попало наблюдаемое значение статистики d. Однако, существуют два пороговых значения d_В и d_Н, зависящие только от числа наблюдений, числа регрессоров и уровня значимости, такие, что выполняются следующие условия.

Если фактически наблюдаемое значение d:

1. d_B<d<4-d_B, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;

2. d_Н<d<d_B или 4-d_B<d<4-d_Н, то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (область неопределенности критерия);

3. 0<d<4-d_Н, то принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции;

4. 4-d_Н<d<4, то принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции. Рис. 6. Границы значимости.

Для d – статистики найдены d_B и d_Н границы на различных уровнях значимости и помещены в таблицу.

Недостатками критерия Д-У является:

1. Наличие области неопределенности критерия;

2. Критические значения d – статистики определены для объемов выборки не менее 15. В этом смысле при n = 6, 7, 8 результаты недостоверны даже для парной регрессии;

3. Методика расчета и использование критерия Д-У направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.