ВВЕДЕНИЕ

В математике наличие функциональной зависимости переменных и означает, что каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой.

В экономике, в большинстве случаев, между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое-то определенное, а множество возможных значений другой переменной (или определенное условное распределение другой переменной). Такая зависимость получила название статистической или вероятностной.

Возникновение такой связи обусловлено тем, что зависимая переменная подвержена влиянию неконтролируемых или неучтенных факторов, а также случайными ошибками.

В силу неоднозначности статистической зависимости между и , представляет интерес усредненная по схема зависимости, т.е. закономерность в изменении условного математического ожидания (математическое ожидание случайной переменной , вычисленного в предположении, что переменная приняла значение ) в зависимости от .

- независимая переменная (объясняющая переменная, факторный признак).

- зависимая переменная (объясняемая переменная, результативный признак).

Когда каждому значению одной переменной соответствует определенное условное математическое ожидание (среднее значение) другой, то такая зависимость называется корреляционной.

Иначе, корреляционной зависимостью между двумя переменными называется функциональная зависимость между значениями одной и средним значением другой (условным математическим ожиданием),

это уравнение называется уравнением регрессии.

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать закон распределения переменной при условии, что переменная примет значение . В статистической практике такой информации получить не удается, т.к. обычно имеется выборка пар значений объема . В этом случае речь может идти о приближенном выражении, аппроксимации по выборке функции регрессии. Такой оценкой является выборочная линия (кривая) регрессии:

- условная средняя переменной при фиксированном значении ,

- параметры кривой.

Таким образом, эконометрическая модель имеет вид:

где - наблюдаемое значение зависимой переменной,

- объясненная часть, зависящая от значений объясняющих переменных,

- случайная составляющая.

В многомерном случае, когда х – вектор, ( ) могут считаться как случайными, так и детерминированными.

.

1. Этапы построения эконометрической модели

1. Качественный анализ сущности рассматриваемого явления и выдвижение гипотезы.

2. Формирование набора факторов, участвующих в модели и их анализ.

3. Сбор необходимой статистической информации.

4. Проведение спецификации модели, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава и формы входящих в неё связей между переменными.

5. Проведение оценки параметров уравнения.

6. Проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных.

7. Интерпретация результатов моделирования.

8. Прогнозирование неизвестных значений зависимой переменной.

2. Парная регрессия

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у и x:

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная:

Нелинейные регрессии делят на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных объясняющих переменных, но линейных по оцениваемым параметрам, и, регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Нелинейные по объясняющим переменным, но линейная по оцениваемым параметрам:

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

Степенная:

Показательная:

Экспоненциальная:

Логарифмическая:

Полулогарифмическая:

Обратная:

Нашей задачей является подобрать функцию , наилучшим способом описывающую зависимость y от x.

2.1. СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Этот метод применяют в случае парной зависимости для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - значения факторного признака X.

Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу о типе связи между всеми возможными значениями X и Y.

Рисунок 1. Графики различных функций.

2.2. Оценка параметров модели

Построение уравнения регрессии сводится к оценке её параметров. Согласно МНК (метод наименьших квадратов) поиск наилучшей аппроксимации набора наблюдений сводится к минимизации функционала:

Для линейной функции:

. (1)

Необходимые условия экстремума:

(2)

(3);

(4)

Введем обозначения: , , , .

В новых обозначениях система определения и принимает вид:

(5)

, (6)

, (7)

- выборочной дисперсии переменной x;

- выборочной дисперсии переменной y;

- выборочной ковариации.