1. Сызықты теңдеулер жүйесі.

Сызықты теңдеулер жүйелеріне көптеген қолданбалы және экономикалық есептер келтіріледі; олар зерттеу аппаратында және жеке мәселелерді қарастыруда да пайдаланылады

Жалпы түрде n белгісізі бар m сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық:

(I)

мұндағы a_ij кез келген сан, b_j Р (сандық өріс)

a_ij- коэффициенттер деп аталады (1≤ i≤m) , b_j- бос мүшелер, мұнда (1≤j≤n). Егер бос мүшелері нөлге тең болса, онда жүйе біртекті деп, ал егер кемінде бір b_j нөлге тең емес болса, жүйе біртексіз деп аталады. Бұл теория комплекс сандарға да қатысты ақиқат болса да, келесіде Р – нақты сандар өрісі деп санаймыз.

Анықтама. (1) жүйесінiң әр теңдеуiнде белгiсiздердiң орнына қойғанда оларды тепе-теңдiкке айналдыратын n нақты сандар жиыны , , … , теңдеулер жүйесiнiң шешiмi деп аталады. (сандардың бұл жиынтығы ( ₁,…, _n) жүйенің бір шешімі болып табылады).

Анықтама. (I) жүйесі үйлесімді деп аталады, егер оның кем дегенде бір шешімі болса, және үйлесімсіз, егер бір де бір шешімі болмаса, яғни оның шешімдер жиыны бос

Үйлесімді жүйе анықталған деп аталады, егер оның бір ғана шешімі болса, және анықталмаған, егер оның шексіз көп шешімдері болса.

Жүйені шешу дегеніміз, оның үйлесімдігін анықтау және ол үйлесімді болған жағдайда барлық шешімдер жиының табу.

n белгісізді S теңдеулер жүйесін қарастырайық

(II)

Анықтама. (II) жүйесі (I) теңдеулер жүйесінің салдары деп аталады, егер (I) жүйесінің кез келген шешімі (II) жүйесінің де шешімі болса.

Сөйлем: (II) сызықты теңдеулер жүйесі (I) теңдеулер жүйесінің салдары (I) жүйесінің барлық шешімдер жиыны (II) жүйесінің барлық шешімдер жиынының ішкі жиыны болса

(I) жүйесін қарастырайық:

Жүйенің бірінші теңдеуінің екі жағын да қандай да бір λ₁ санына көбейтейік, екінші теңдеудің екі жағын λ₂ көбейтейік және т.с.с., одан кейін алынған барлық теңдеулерді қосайық. Біз (I) жүйесінің теңдеулерінің сызықты тіркесі деп аталатын сызықты теңдеу аламыз: (III)

2.Сызықты тіркестердің қасиеттері

(I) жүйесінің кез келген шешімі (III) жүйесінің келген теңдеуін қанағаттандырады, яғни (I) жүйесінің сызықты теңдеулерінің кез келген сызықты тіркесі осы жүйенің салдары болып табылады

Мәндес жүйелер

Анықтама. Екі теңдеулер жүйесі мәндес немесе эквивалентті деп аталды, егер олардың шешімдер жиыны бірдей болса (немесе шешімдері болмаса)

Мәндестіктің қасиеті

Екі теңдеулер жүйесі мәндес осы жүйелердің кез келгені екінші жүйенің салдары болса. Берілген жүйеге мәндес жүйені қарапайым түрлендірулер арқылы алуға болады. Жүйені мәндес жүйеге айналдыратын түрлендірулер қарапайым түрлендірулер деп аталады.

Қарапайым түрлендірулер.

1. қандай да бір теңдеудің екі жағын нөлге тең емес санға көбейту;

2. жүйедегi бiр теңдеудiң екi бөлiгiне, екiншi теңдеудiң сәйкес екi бөлiгiн кез келген С нақты санына көбейтiп қосу;

3. жүйеден коэффициенттері және бос мүшесі нөлге тең 0*x₁+0*x₂+…+0*x_n=0 (*) теңдеуін сызып тастау

4. теңдеулердің орнын ауыстыру.

Теорема. Егер сызықты теңдеулердің бір жүйесі екінші жүйеден қарапайым түрлендірулер арқылы алынса, онда бұл жүйелер мәндес.

Салдар. Егер теңдеулер жүйесінің бір теңдеуіне жүйенің басқа теңдеулерінің сызықты комбинациясын қосса, онда берілген теңдеулер жүйесіне мәндес жүйе аламыз.