4. Конус второго порядка

(6) теңдеуімен анықталатын бет екінші ретті конус деп аталады.

Беттің теңдеуіне X,Y,Z айнымалылары екінші дәрежеде кіретіндіктен, екінші ретті конус барлық үш координаталық жазықтықтарға және координаталық осьтерге қатысты симметриялы. Координаталар бас нүктесі беттің симметрия центрі болады. Ол екінші ретті конустың төбесі деп аталады.

Беттің симметрия жазықтықтарымен қимасын табамыз. Екінші ретті конусты yOz және xOz жазықтықтарымен қиғанда, қимада өзара қиылысатын екі түзу шығады.

немесе

Екінші ретті конустың xOy жазықтығымен бір ғана ортақ нүктесі бар – ол координаталар бас нүктесі. Бұл нүкте екінші ретті конустың төбесі деп аталады. z=h жазықтығы екінші ретті конусты эллипс бойымен қияды

немесе

Эллипстің жарты осьтері артқан сайын артады.

5. Цилиндрлік беттер

Цилиндрлер деп – шеңбер, эллипс, гипербола, парабола нүктелерінен солардың жазықтықтарына перпендикуляр болып өтетін түзу сызықтардың үздіксіз қозғалысынан шығатын екінші ретті беттер. Бұл шеңбер, эллипс, гипербола және парабола цилиндрлердің бағыттаушылары деп аталады, ал цилиндрлердің беттерінде жатқан түзулер олардың жасаушылары деп аталады. Екінші ретті цилиндрлердің үш типі бар:

1) эллипстік цилиндр (7)

2) гиперболалық цилиндр (8)

3) параболалық цилиндр (8)

Өзін-өзі тексеру үшін сұрақтар:

1. Қандай бет эллипсоид деп аталады?

2. Эллипсоидтың төбелері қалай анықталады?

3. Бірқуысты гиперболоидтың канондық теңдеуін жазыңыз.

4. Екіқуысты гиперболоидтың канондық теңдеуін жазыңыз.

5. Бірқуысты гиперболоидтың мойын эллипсі қалай табылады?

6. Эллипстік параболоидтың канондық теңдеуін жазыңыз.

7. Гиперболалық параболоидтың канондық теңдеуін жазыңыз.

8. Екінші ретті конустың канондық теңдеуін жазыңыз.

9. Екінші ретті цилиндрлердің классификациясын атаңыз.

Әдебиет:

1. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия Ч1. М. Просвещение

1986.216-241

2. Ильин В. А. Поздняк Э. Г. Аналитическая геометрия М. Наука

1984.188-199

3. Привалов И.И. Аналитическая геометрия.М. Наука 1966.241-252

4. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М. Наука

1975с.229-243

Тестілер

1. матрица түрін тап.

А) диагоналды; В) бірлік; С) симметриялы;

D) қиғашсимметриялы; Е) транспонирлі.

2. матрица түрін тап.

А) диагоналды; В) бірлік; С) симметриялы;

D) қиғашсимметриялы; Е) транспонирлі.

3. матрицасына транспонирленген матрица тап

А) В) С)

D) Е)

4. матрицасына транспонирленген матрица тап

А) В) С) D) Е)

5. Матрицалар көбейтуінің қандай қасиеті орындалмайды.

А) ( А)В=А( В) В) (А+В)С=АС+ВС С) АВ=ВА

D) АЕ=ЕА Е) А(ВС)=(АВ)С

6. -анықтауышты есепте.

А) 30 В) 0 С) 60 D) -60 Е) -30

7. -жүйенің шешімін Крамер әдісімен тап.

A) (–1; 2) B) (–1; 2) C) (1; –2) D) (2; –1) E) (2; 1)

8. -жүйенің шешімін Крамер әдісімен тап.

A) (2; 3) B) (–2; 3) C) (–2; –3) D) (2; –3) E) (2; 1)

9. . М₃₁ – минорын есепте.

A) –10 B) –11 C) 10 D) 11 E) 8

10. . А₂₃ алгебралық толықтаушын есепте.

A) 12 B) 10 C) –10 D) 8 E) –12

11. Анықтауыштың а_ij элементінің алгебралық толықтауышын есептеу формуласы:

A) А_{i j} =-М_{i j} B) А_{i j} =±М_{i j} C) А_{i j}=М_{i j} D) А_{i j}=(–1)^{i j}М_{i j} E) А_{i j}=(–1)^i+jМ_{i j}

12. . А₃₂ –алгебралық толықтауышын есепте.

A) 3 B) –3 C) 4 D) –4 E) 5

13. . М₁₂ минорын есепте.

A) 0 B) 10 C) –10 D) –4 E) 5

14. анықтауышты есепте.

A) 2b B) 2a C) 2a²b D) 2ab E) 2ab²

15. анықтауышты есепте.

A) 6 B) –6 C) 12 D) –12 E) 4

16. =0- теңдеуінің шешімін тап.

A) B) C) D) 4 E) 16

17. , матрицаларының көбейтіндісінің анықтауышын есепте.

A) –54 B) 27 C) 54 D) 36 E) 0

18. 2 жолы пропорционалды болатын (к 0) анықтауыштың мәні:

A)өзгермейді;

B) 0-ге тең;

C) k санына еселенеді;

D) таңбасы қарсы өзгереді;

E) 1-ге тең.

19. n-ші ретті анықтауышты есептейтін формула:

A) ∆=а_i1А_i1+а_i2А_{j 2}+…+а_{i n}А_{j n} B) ∆=а_i1А_i1+а_i2А_i2+…+a_inA_in.

C) ∆=a_1iA_j1+a_2iA_j2+…+a_niA_jn D) ∆=(–1)^i+jA_in E) ∆=(–1)ⁿA_in

20. Дұрыс теңдікті анықта.

A) |A*B|=|A|*|B| B) |A*B|=|B|*|A|^–1 C) |A*B|=|A|^–1*|B|

D) |A*B|=|A|*|B|^–1 E) |A*B|=|A|+|B|

21. >0 теңсіздігінің шешімі:

A) x>3 B) x<3 C) x>2 D) x<2 E) x>0

22. <1 теңсіздігінің шешімі:

A) x>7/2 B) x<7/2 C) x>7 D) x<7 E) x>0

23. Анықтауыштың екі жолын (екі бағанын) ауыстырғаны, сол анықтауышты қандай санға көбейткенмен бірдей.

A) 1 B) 2 C) –2 D) –1 E) 0

24. Егер анықтауыштың бір бағанының (жолының) элементтеріне басқа бағанның (жолының) сәйкес элементтерін бір санға көбейтіп қосса, онда анықтауыштың мәні:

A) бір санға еселенеді; B)өзгереді;

C) өзгермейді; D)нөлге теңеледі; E) элементтерді көбейткен санға теңеледі.

25. Анықтауышты есептеуге қолданылмайтын әдісті анықтаңыз.

A) Крамера әдісі; B) үш бұрышқа келтіру әдісі;

C) сызықты көбейткішін шығару әдісі; D) Лапласа әдісі;

E) жол (баған ) бойындағы элементтері арқылы жіктеу әдісі.

26. n–ші ретті анықтауыштың бір жол (баған) бойындағы элементтерінің ішінде жалғыз а_ij элементі нөлге тең емес болғанда, анықтауыш қандай көбейтіндіге тең болады.

A) а_ij*M_ij B) а_ij*M_ji C) а_ij*A_ij D) а_ij*A_ji E) а_ij*A_ii

27. А= матрицасының рангін анықтаңыз.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

28. Егер шәрші матрицаның жолдар жүйесі сызықты тәуелсіз болса, онда матрица:

A) нөлді; B) нөлді емес; C) нұқсанды;

D)нұқсанды емес; E) сатылы.

29. матрицасының рангі 2-ге тең болу ұшын - ның мәні қандай болу керек.

A) –2 B) 6 C) 4 D) –6 E) –3

30. А= , В= матрицаларының қосындысы:

А) В) С) D) Е)

31. А= матрицасының 3-ке көбейткені:

А) В) С) D) Е)

32. A= , B= матрицалары арқылы AB–2E матрицасын анықта.

A) B) C) D) E)

33. А= матрицасы арқылы 2А²+5Е матрицасын табыныз.

А) В) С) D) Е)

34. А= матрицасы арқылы А² матрицасын анықтаңыз.

A) B) C) D) E)

35. А= матрицасы арқылы А^–1 матрицасын анықтаңыз.

A) B) C) D) E)

36. - матрица түрінде берілген теңдеудің шешімін анықтаңыз:

A) B) C) D) E)

37. Матрица қайтымалы, егер ол:

A) нұқсанды; B) сатылы; C) нөлді;

D) нұқсансыз; E) нөлді емес.

38. А матрицасына кері матрица табылатын шартын анықтаңыз.

A) А-нөлді; B) |A|=0; C) |A| 0; D) А- нұқсанды; E) шарты жоқ.

39. А^–1 - квадрат матрицасы А матрицасының кері матрицасы болу үшын қандай теңдік орындалу керек.

A) (АА^–1)А=А(А^–1А) B) А А^–1=А^–1А C) А А^–1=А^–1А=E

D) А /А^–1=А^–1/А=E E) А /А^–1=А^–1/А

***************

40. матрица арқылы транспонерленген матрицаны анықтаңыз.

A) B) C)

D) E)

41. Үйлесімді сызықты теңдеулер жүйесі анықталмаған, егер:

A) r=n B) r<n C) r_a=r_b D) r_a r_b E) r>n

42. С= матрицасының рангін анықтаңыз.

А) 2 В) 3 С) 1 D) 9 E) 4

43. СЫзықты теңдеулер жүйесі біртекті емес, егер:

А) бос мүшелерінің бәрі нөлге тең;

В) бос мүшелерінің бәрі нөлге тең емес;

С) бос мүшелерінің бәрі жұп;

D) тым болмағанда жалғыз бос мүшесі нөлге тең емес;

Е) тым болмағанда жалғыз бос мүшесі нөлге тең.

44. жүйенің шешімінің саны:

А) шектеусіз көп; В) жалғыз; С) екі; D) үш; Е) 0

45. жүйенің түрі:

A) анықталған; B) анықталмаған;

C) үйлесімді, анықталмаған;

D) үйлесімсіз; E) мәндес.

46. жүйенің шешімі:

A) (–1; –2; 0) B) (1; –2; 0) C) (2; –1; 0) D) (–1; 2; 0) E) (1; –2; 1)

47. a, b, c, d векторларының қосындысының l осіне жасалған проекциясын анықтаңыз, егер =5, =6, =8, =12, және векторлардың l осімен жасалған бұрыштары сәйкес: 0, , , .

А) 0 ; B) 1; C) -1;

D) 2; E) -2.

48. а₁=(–1; 3; 2), а₂=(2; –8; –4), а₃=(–5; 1; 4), а₄=(1; –3; –2). Сызықты тәуелді векторларды анықтаңыз.

A) а₁, а₄ B) а₁, а₂ C) а₁, а₃ D) а₂, а₄ E) а₃, а₄

49. а=(–1; 2; 1), в=(3; 0; 2). а–2в векторының координаттары:

A) (0; 7; 3) B) (–7; 0; 3) C) (–7; 2; –3) D) (7; 2; –3) E) (7; –2; –3)

50. ā₁=(0; 1; 2; –1), ā₂=(4; –4; 3; –3), ā₃=(–1; 0; 1; 2)- берілсін. ā₁+2ā₂–3ā₃ сызықты комбиеациясын анықтаңыз.

A) (5; –7; 5; 1) B) (11; –7; 5; –1) C) (11; –7; –5; 13)

D) (11; 7; –5; 13) E) (11; –7; 5;–13)

51. векторлар жуйесінің бір векторы қалған векторлар арқылы сызықты комбинация түрінде жазылады. Осындай векторлар жүйесі қалай аталады.

A)үйлесімді; B) сызықты тәуелді;

C) үйлесімсіз; D) сызықты тәуелсіз; E) сызықты.

52. х₁, …, х_к, векторлар үшін α₁х₁+α₂х₂+…+α_к х_к=0 теңдігінің орындалуы тек қана α₁=α₂=…=α_к=0 болса. Осы жағдайда х₁, …, х_к жүйесі қалай аталады.

A)үйлесімді; B) сызықты тәуелді; C) үйлесімсіз;

D) сызықты тәуелсіз; E) сызықты.

53. а=(–1; 2; 4), в=(2; с; –2) векторлары ортогоналды болу ұшын с-ның мәні қандай болу керек.

A) –5 B) 5 C) 1 D) 0 E) –3

54. а=(–1; 3; 5; –4), в=(3; –5; 2; –4) векторларының скалярлық көбейтіндісі:

A) –10 B) 10 C) 6 D) 8 E) –8

55. а=(2; 1; 2; –1), b=(1; –2; 2; –1) векторларының арасындағы бұрыш:

A) B) C) 0 D) E)

56. Ортогоналды векторлардың скалярлық көбейтіндісі:

A) (x, y)=1 B) (x, y) 1 C) (x, y)>0 D) (x, y)=0 E) (x, y)=|x|*|y|

57. а=(1; –2; 2) векторымен бағытталған бірлік векторын анықтаңыз:

A) ( ; ;– ) B) ( ;– ; ) C) (– ; ;– ) D) (– ; ; ) E) ( ; ; )

58. (2-i)³(2+11i) есептеңіз:

A) –125 B) –117 C) 117 D) 125 E) 0

59. x,y мәндерін табыңыз, егер: 2+5ix-3iy=14i+3x-5y.

A) x=4, y=2 B) x=4, y=-2 C) x=2, y=4

D) x=-4, y=2 E) x=-2, y=-4

60. есептеңіз:

A) 0 B) C) D) E)

61. есептеңіз.

A) ±(1-4i) B) ±(4i) C) ±1-4i D) ±(1+4i) E) ±(4+i)

62. (1+2i)⁶ алгебралық түрінде есептеңіз.

A) 117+44i B) 117-44i C) -117-44i

D) -117+44i E) 110+44i

63. z=2i+9 нақты бөлшегін анықтаңыз.

A) –5 B) –2 C) 9 D) 2 E) i

64. z=-a+bi – комплекс санының модулі:

A) B) C) D) E)

65. (i-1)¹² есептеңіз.

A) 2⁶ B) 2¹² C) -2⁶ D) 2⁷ E) 0

66. есептеңіз.

A) ±( /2±i /2) B) ±( ±i ) C) ±(1/ ±i2/ )

D) ±( /2±1/2i) E) ±(1/2± /2i)

67. Комплекс санын i – ге көбейткенде модулі қалай өзгереді.

A) |iz| B) |z| C) i|z| D) |-iz| E) 0

68. тригонометриялық түрін қолданып есептеңіз:

A) 2(1+i) B) 2(1-i) C) (1+i) D) (1-i) E) 2(1+2i)

69. есептеңіз.

A) –i B) i+1 C) i-1 D) i E) 2i

70. z=a+bi комплекс санымен түйіндес санның түрі:

A) z=-a+bi B) z=a-bi C) z=-a-bi D) z=ai+b E) z=ai-b

71. z=4-i санының модулін анықтаңыз:

A) 4 B) C) – D) –4 E)

72. z=1+i санының аргументін анықтаңыз:

A) B) C) D) E)

73. i¹²⁵ есептеңіз.

A) –i B) i C) 1 D) –1 E) 0

74. А(2), В(4) и С(7). АС/СВ қатынасын табыңыз

A) - B) 4 C) 1 D) 2 E) -2

75. А(-1) и В(5). АВ кесіндісінің ортасы:

A) -3 B) -2 C) -0,5 D) 3 E) 2

76. А(-3; 4) и В(-2; 2). Арақашықтығы:

A) 13 B) 3 C) 4 D) 10 E)

77. А(3; -7) и В(-1; 4) - квадраттың төбелері. Ауданын есептеңіз.

A) 65 B) 137 C) 56 D) 26 E) 36

78. Р(3; 5) и Q(l; -3)- квадраттың қарсы төбелері. Ауданын есептеңіз.

A) 68 B) 50 C) 16 D) 65 E) 34

79. А(-3; 5) и В(1; 7)-параллелограммның төбелері. М(1; 1) – диагоналдарының қиылысу нүктесі. Қалған екі төбесін анықтаңыз.

A) (5; -3), (1; -5) B) (5; 3), (1; -5) C) (-5; -3), (1; -5)

D) (5;-3), (-1; -5) E) (5; 3), (1; 5)

80. А(3; -5), В(5; -3), С(-1; 3) –параллелограммның төбелері. D- төбесін анықтаңыз

A) (-3; 1) B) (5; 3) C) (1; -5) D) (-1; -5) E) (-3; -1)

81. С (2; 3) – АВ кесіндісінің ортасы. А нүктесінің координаттарын табыңыз, егер В (7; 5).

A) (4; 3) B) (2; -1) C) (4; -3) D) (-3; 1) E) (7; 3)

82. А(3; -1; 2), В(1; 2; -4) и С(-1; 1; 2) параллелограммның төбелері. D- төбесін табыңыз.

A) (1;-2;-8) B) (-1; 2; 8) C) (-1;-2;-8) D) (1;-2;8) E) (-1;-2; 8)

83. С(1; -1; 5) – АВ кесіндісінің ортасы. В нүктесін табыңыз, егер А(-2; -1; 7).

A) (4;-1;3) B) (4;2;10) C) (-3;4;2) D) (3;-3;7) E) (3; -5; 9)

84. А(2; -3) нүктксінің абсцисс осіне жасалған проекциясы:

A) (-5; 0) B) (2; 0) C) (3; 0) D) (0; -3) E) (-2; 3)

85. А(-5; 1) нүктесінің ординат осіне жасалған проекциясы:

A) (0; 1) B) (-5; 0) C) (0; 2) D) (1; 1) E) (0; -2)

86. Ох осі бойынша А(-3; 2) нүктесіне симметриялы нүктенің координаттары:

A) (3;-2) B) (-3;-2) C) (-3;5) D) (-1;1) E) (-1;2)

87. Оу осі бойынша А(3;-5) нүктесіне симметриялы нүктенің координаттары:

A) (1;2) B) (-5;-3) C) (-3;-5) D) (3;5) E) (-3;-1)

88. Бас нүкте бойынша А(-2;1) нүктесіне симметриялы нүктенің координаттары:

A) (2;-1) B) (2;1) C) (-5;3) D) (5;4) E) (1;1)

89. Полярлық координат жүйесінде нүкте анықталады:

A) (x;y) B) (;) C) (;;) D) (x;y;z) E) (;;z)

90. 4х-5у+2=0 түзуіне параллель болып, А(-1; 3) нүктесінен өтетін түзудің теңдеуі:

A)4х+5у+19=0 B)4х+5у-19=0 C)-4х+5y-12=0 D)4х-5у+19=0 E)-4х+5у-13=0

91. Декарт координат жүйесінде түзудің теңдеуі:

A) ab=ba B) A(x–x₀)+B(y–y₀)=0 C) x²+y²=a² D) x²–y²=1 E) xy=1

92. А(-1; 6), В(-3; 4) нүктелерінен өтетін түзудің бұрыштық коэффициенты.

A) 4 B) 3 C) –1 D) 1 Е) 

93. x–3y+2=0 түзуінің бойында жататын М(х; -1)нүктесінің абсциссасы:

A) –2 B) 1 C) 4 D) -5 E) 3

94. OX осінің теңдеуі:

A) 2x+3=0 B) y=0 C) 2x=0 D) y=5 E) y=x

95. 3x–4y+1=0 ,2x+5y–7=0 түзулерінің қиылысу нүктесі:

A) (1; 1) B) (1; -1) C) (-1; 1) D) (-1; -1) E) (1; 0)

96. Бұрыштық коэффициенты k=3, бас ординатасы b=5 болатын түзудің теңдеуі:

A) 3x–y–5=0 B) 3x+y–5=0 C) x–3y+5=0

D) 3x–y+5=0 E) x–3y–5=0

97. Р(2; 3) и Q(-1; 0). PQ кесіндісіне перпендикуляр, Q нүктесінен өтетін түзудің теңдеуі:

A) 3x+2y+5=0 B) x+2y+1=0 C) x–y+1=0

D) x+y+1=0 E) x–2y+9=0

98. A(5; -3) , B(-1; 6) нүктелерінен өтетін түзудің теңдеуі:

A) 2x+3y–9=0 B) 3x-2y–4=0 C) 2x+3y-7=0

D) 2x+3y–9=0 E) 3x+2y-9=0

99. 5x–y+3=0 түзуінің бұрыштық коэффициенті:

A) 6 B) 5 C) 4 D) 0,5 E) 3.

100. x+2y+z+5=0, 2x-y+z-3=0 жазықтықтарының арасындағы бұрыш:

A) аrccos(1/3) B) arccos(l/4) C) arccos(l/6)

D) p/6 E) arccos(l/2)