N белгісізді n біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің нөлдік емес шешімдері болатынының шарты

n белгісізді n сызықты теңдеулерден тұратын біртекті жүйені қарастырайық. (II)

Теорема. n белгісізді n біртекті сызықты теңдеулерден тұратын жүйенің нөлдік емес шешімі болады белгізідердің коэффициенттерінен құралған А матрицасының анықтауышы нөлге тең болса.

3.Біртекті сызықты теңдеулер жүйесі.

Алдында қарастырылған параграфтардың нәтижелерін біртекті сызықты теңдеулер жүйесіне қолданайық:

(II)

n белгісізді m сызықты теңдеулерден тұратын біртекті жүйенің жалпы түрі.

Кронекер-Капелли теоремасынан бұл жүйе әрқашан үйлесімді екені шығады, себебі кеңейтілген матрицаға нөлдік бағанның қосылуы оның рангін өзгертпейді, яғни r_А=r_В=r . (Жүйенің әрқашан нөлдік шешімі болады х₁=0; х₂=0;…; х_n=0 .)

(II) жүйесіне Гаусс әдісін қолданып, сатылы түрге келтірейік.

Егер r=n болса, онда үшбұрышты түрге келтіреміз, және бұдан жүйенің тек ғана жалғыз нөлдік шешімі болатыны шығады: х₁=0;…; хn=0.

Егер r<n болса, онда трапециялық түрге келеміз, және осыдан (II) жүйесінің шексіз көп шешімі бар екені шығады. Бұл жағдайда n-r белгісіздері бос болады.

Сонымен, келесі теорема орынды.

Теорема. (ІІ) жүйесінің нөлдік емес шешімдері болады, егер негізгі матрицаның рангі белгісіздер санынан кем болса және тек сонда ғана.

Біртекті жүйенің шешімдерінің қасиеттері.

Жүйенің әрбір шешімін n- өлшемді вектор ретінде қарастыруға болады: а= Є Tn.

Сөйлем 1. Егер а векторы (II) жүйесінің шешімі болса, онда kЄR кез келге саны үшін ka= векторы да (II) жүйесінің шешімі болады.

Сөйлем 2. Егер а және в=(τ₁,...,τ_n) векторлары (II) жүйесінің шешімдері болса, онда векторы да (II) жүйесінің шешімі болады.

Теорема. Біртекті жүйенің шешімдерінің кез келген сызықты комбинациясы осы жүйенің шешімі болады.

4.Шешімдердің фундаменталды жүйесі.

(II) жүйесінің шешімдер жиыны ішкі кеңістік құрайтын болғандықтан, оның ішінде базис белгілеуге болады. Бұл базис шешімдердің фундаменталды жүйесі деп аталады.

Анықтама. (II) жүйесінің шешімдерінің максималды сызықты тәуелсіз жүйесі шешімдердің фундаменталды жүйесі деп аталады.

Базистің анықтамасы бойынша, (II) жүйесінің кез келген шешімі шешімдердің фундаменталды жүйесінің сызықты комбинациясы болып табылады.

Сөйлем.. n-өлшемді вектор (II) жүйесінің шешімі болады сонда тек сонда ғана, егер ол шешімдердің фундаменталды жүйесін құрайтын векторлардың сызықты комбинациясы болса.

Демек, өрнегі (II) жүйесінің (λ₁,...,λ_р параметрінің барлық мүмкін мәндері үшін) барлық шешімдерін қамтиды. Тек ғана нөлдік шешімі болатын біртекті жүйенің шешімдерінің фундаменталды шешімі болмайды.

Әдебиет: 1, 60 бет.

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:

1. Гаусс әдісінің мәні неде?

2. Гаусс әдісінің салдары

3. Крамер формулаларын жазыңыз.

4. Гаусс әдісі және Крамер ережесі қандай сызықты теңдеулер жүйелеріне қолданылады?

5. Жүйенің шешімін матрицалық түрде жазыңыз (кері матрица әдісінің мәні).

6. Қандай жағдайларда n белгісізді біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің нөлдік емес шешімдері болады?

7. Шешімдердің фундаменталды жүйесі деп не аталады?

№8 дәріс.

Тақырып: Координаттар жүйелері.