2.Комплекс сандар жиыны

Жаңа сандық жүйені құрастыру үшін геометриялық тұрғыларды пайдаланған ыңғайлы. Нақты сандар түзудегі нүктелермен бейнеленеді, бұл бейнелеу түзудің барлық нүктелер жиыны мен нақты сандар жиыны арасындағы бірмәнді сәйкестікке негізделеді. Жаңа сандарды нақты сандар жұптарының көмегімен құрастыру керек, және жаңа сандық жүйе нақты сандар жүйесінің кеңейтілуі болып табылады.

Анықтама. Комплекс сандар деп, <а, b > реттелген жұптары аталады және мұндағы а, в, єR келесі операцияларға қатысты қарастырылады:

1)<a₁,b₁>*<a₂,b₂>=<a₁+a₂,b₁+b₂> ережесі бойынша қосу

2)<a₁,b₁>*<a₂,b₂>=<a₁a₂-b₁b₂, a₁b₂+a₂b₁> ережесі бойынша көбейту

Комплекс сандардың жиыны С арқылы белгіленеді.

Координаттық жазықтық комплекс жазықтық деп аталады (координаттық түзу сандық түзумен парапарланғандай).

<a,b> және <c,d> комплекс сандары тең деп аталады: <a,b> = <c,d> <=> a=c и b=d

С жиынында жорамал бірлік деп аталатын және i деп белгіленетін <0,1> комплекс саны ерекше маңызды.

i=<0,1> => i²=i*i=<0,1>*<0,1>=<-1,0>=-1

Теорема. Еңгізілген операцияларға қатысты комплекс сандар жиыны өріс құрайды.

Салдар.

1)Қосудың қайтымдылығы <=> келесі түрдегі теңдеудің шешімділігіне: "<a,b> є C $!<x,y> :

<c,d>+<x,y>=<a,b> => <x,y>=<a,b>+<-c,-d>=<a-c;b-d>

Азайту ережесі:

<a,b>-<c,d>=<a-c;b-d>

Бөлу ережесі: <c,d>≠ <0,0>

Комплекс санның алгебралық түрі

Кез келген комплекс санды келесі түрде келтіруге болады: Z=<a,b>=<a,0>+<0,b>=<a,0>+<b,0>*<0,1>=a+b_i

Анықтама. z=<a,b> комплекс санының a+bi түрінде жазылуы, комплекс санның алгебралық түрі деп аталады.

а – комплекс санның нақты бөлігі, bi– жорамал бөлігі.

Комплекс санның алгебралық түрі барлық арифметикалық амалдарды елеулі жеңілдетеді:

(a+bi)+( c+di)=<a,b>+<c,d>=<a+c;b+d>=(a+с)+(b+d)i

(a+bi)-( c+di)=<a,b>-<c,d>=<a-c;b-d>=(a-с)+(b-d)i

(a+bi)( c+di)=<a,b>*<c,d>=<ac-bd;аd+bc>=(ac-bd)+(ad+bc)i

Жорамал бөлігінің таңбасында ғана айырмашылығы бар с+di және с-di сандары түйіндес деп аталады, және деп белгіленеді.

Алгебралық түрдегі комплекс саннан квадраттық түбір алу

С өрісінде кез келген квадраттық теңдеу шешімді. Осыны дәлелдейік. =x+yi болсын, мұндағы x, y – белгісіз нақты сандар

x= ;y= 2xy=b қатынасында b>0 болған кезде x және y сандарының таңбалары бірдей, имеют одинаковые знаки; b<0 болған кезде x пен y сандарының таңбалары қарама қарсы.

=

Жақшаның ішінде радикал алдында «+» таңбасы алынады, егер b>0, «-» таңбасы, егер b<0 болса.

3.Комплекс сандардың геометриялық интерпретациясы және оларға қолданылатын амалдар

Жазықтықтың барлық нүктелерінің жиыны (тікбұрышты координат жүйесінде) мен нақты сандар жұптарының жиыны арасында өзара – бірмәнді сәйкестік бар, себебі:

а)

б)

в) ;

Сонымен, комплекс сандардың бірінші геометриялық интерпретациясы: кез келген комплекс санды декарттық координат жүйесінде нүкте арқылы бейнелеуге болады.

Көрсетілген сәйкестікте нақты сандар абсцисс өсінің нүктелері болып бейнеленеді, сондықтан оны нақты ось деп атайды, жорамал сандар ординат өсінде, сондықтан жорамал ось деп аталады.

жорамал ось

y

комплекс жазықытық

b М(a,b)

a x нақты ось

Бұдан басқа, комплекс сандар жиыны мен координат басынан шығатын және берілген нүктеде аяқталатын векторлар арасында өзара бірмәнді сәйкестік бар. Комплекс сандардың екінші геометриялық интерпретациясы: кез келген комплекс санды координат басынан шығатын және берілген нүктеде аяқталатын вектор түрінде бейнелеуге болады.

Комплекс сандарды жазықтықтың нүктелері (немесе векторлары) арқылы бейнелеу, комплекс сандарға қолданылатын операцияларды геометриялық тұрғыдан қарастыруға әкеледі.

Қорытынды: комплекс сандардың геометриялық қосындысы параллелограмм ережесі бойынша жүзеге асырылады: :z