4. Силовое поле. Работа и энергия

4.1. Силовое поле

Допустим, частица массой m находится в области притяжения какой-то звезды массой М. По закону всемирного тяготения, со стороны этой звезды на частицу действует сила F, направленная к центру звезды:

,

г де G – гравитационная постоянная, r – расстояние от частицы до звезды. Если помещать частицу то в одну, то в другую точку пространства (х, у, z), то в каждой точке на частицу будет действовать сила F вполне определённой величины и направления: F = F(х, у, z) (рис. 4.1). В этом случае говорят, что частица находится в силовом поле F(х, у, z). Природа силы F может быть любой: гравитационная, кулоновская, магнитная, упругая.

Теперь сформулируем общее определение силового поля: если в каждой точке (х, у, z) пространства определена сила F = F(х, у, z), действующая на частицу в этой точке и зависящая от координат этой точки, то говорят, что задано силовое поле F(х, у, z).

Д ля наглядности силовое поле принято изображать силовыми линиями. Силовая линия – это ориентированная линия в пространстве, касательная в каждой точке которой показывает направление силы, действующей на частицу, помещённую в эту точку. Плотность силовых линий пропорциональна величине силы. Так например, силовые линии гравитационного поля точечной или шаровой массы – это радиальные лучи, направленные из бесконечности к этой массе (рис. 4.2, а).

Частным вариантом силовых полей является однородное поле – это поле, постоянное по величине и направлению F = const. Его силовые линии – параллельные равноудалённые ориентированные прямые (рис. 4.2, б). Однородное поле – это идеализация. Однако, всякое радиальное поле в небольших объёмах можно считать примерно однородным. Например, поле Земли на площади в несколько квадратных километров и до высот 50-100 км вполне можно считать однородным: F ≈ const↑↑g, где |g| = 9,8 м/c² – ускорение свободного падения у поверхности Земли.

4.2. Работа поля

П усть частица в силовом поле F(х, у, z) перемещается вдоль некоторой ориентированной кривой 1−2. Разобъём эту кривую на малые участки Δl_k , которые можно считать малыми векторами (рис. 4.3). На каждом участке на частицу действует сила F_k .

Определение 1. Скалярное произведение вектора F_k на Δl_k называется элементарной работой ΔА_k поля F (силы F) на участке Δl_k :

ΔА_k = F_k ·Δl_k = F_k cos α_k Δl_k ,

где α_k – угол между векторами F_k и Δl_k .

Определение 2. Предельная сумма всех элементарных работ ΔА_k на участке кривой 1−2 (криволинейный интеграл) называется работой поля F на этом участке:

А = . (4.1)

П ример 1. Пусть под действием постоянной силы F тело перемещается по оси х от точки х₁ до х₂ на расстояние s = х₂ − х₁ (рис. 4.4). Тогда, по определению, работа этой силы

А= = F(х₂ − х₁) cos α = Fs cos α.

4.3. Свойства работы. Единица работы

С войство 1: работа А есть величина скалярная и алгебраическая, т. е. она может быть положительной, отрицательной и нулевой, в зависимости от угла α между силой и перемещением.

Пример 2. Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите под действием силы тяжести F (рис. 4.5). Здесь работа силы тяжести по перемещению спутника равна нулю, так как в любой точке круговой орбиты dl F.

Пример 3. Камень летит вверх в однородном поле тяжести Земли. Здесь сила тяжести F = mg направлена вниз, а вектор перемещения камня − вверх; значит, α = 180º, и работа силы тяжести отрицательна.

Свойство 2: работа А является величиной аддитивной. Это значит. что если всю траекторию частицы разбить на отдельные участки, то общая работа на траектории равна алгебраической сумме работ на участках: А = ∑ А_k .

Свойство 3. При смене направления интегрирования работа меняет знак:

.

Это следует из того, что при смене ориентации элемента dl скалярное произведение F ·dl в каждом слагаемом предельной суммы (4.1) меняет знак.

В системе СИ работа измеряется в джоулях: 1 Дж = (F=1 Н) · (l =1 м).