9.6. Приведённая длина физического маятника

Сравним периоды колебаний математического и физического маятников:

; .

Видно, что комбинация параметров физического маятника I/(ml) имеет размерность длины. Она называется приведённой длиной физического маятника:

. Тогда можно записать: . Если теперь выбрать длину математического маятника l_м = l_пр , то он будет изохронным данному физическому, т. е. Т_м = Т_ф.

Определение 1. Приведённой длиной физического маятника называется длина математического маятника, изохронного данному физическому.

Определение 2. Точка О', находящаяся на расстоянии от оси О на линии, проходящей через центр масс С, называется центром качания физического маятника (рис. 9.7).

Центр качания О' обладает одним замечательным свойством: если ось качания пропустить через точку О', то период качания Т_О' = Т_О, т. е. точки О и О' являются изохронными центрами качания.

Так например, приведённая длина кольца из Примера 1 l_пр = 2R; приведённая длина стержня из Примера 2 l_пр = (2/3)а.

9.7. Преобразования энергии при колебаниях

При механических колебаниях происходят периодические преобразования энергии системы из потенциальной в кинетическую и обратно. Рассмотрим такие преобразования на примере пружинного маятника.

При максимальном отклонении груза от равновесия его скорость υ = 0, следовательно, его кинетическая энергия W_к = 0, но пружина при этом запасла максимальную потенциальную (упругую) энергию W_{п max} = kХ² /2, где k – жёсткость пружины, Х – амплитуда колебаний груза.

При возвращении груза к положению равновесия он приобретает максимальную скорость υ₀ , значит его кинетическая энергия становится максимальной: W_{к max} = mυ₀²/2, но зато упругая энергия пружины W_п = 0.

Далее груз, двигаясь по инерции, сжимает пружину, вновь увеличивая её потенциальную энергию и уменьшая свою кинетическую, так как его скорость в процессе сжатия уменьшается.

Покажем, что в любой момент времени полная энергия пружинного маятника W_полн(t) = W_п(t) + W_к(t) = const и равна первоначально сообщённой ему энергии W₀ = kХ² /2.

Пусть шарику дали начальное отклонение Х и отпустили. Он будет двигаться по закону (9.6). В произвольный момент времени потенциальная энергия пружины

,

а кинетическая энергия шарика, с учётом (9.7),

.

Следовательно, полная энергия системы

W_полн(t) = W_п(t) + W_к(t) = .

Преобразования энергии колебаний математического и физического маятников аналогичны.

9.8. Затухающие колебания

Во всякой реальной механической колебательной системе имеются силы трения, приводящие к потерям энергии при и колебаниях и уменьшающие их амплитуду. Например, при качаниях груза на пружине или на нити он испытывает трение о воздух. С достаточной точностью силу такого трения можно считать пропорциональной скорости груза (закон Стокса):

F_тр = −rυ,

где r – коэффициент пропорциональности, называемый сопротивлением среды. Знак «−» означает, что F_тр ↑↓ υ. Если колебания происходят вдоль оси х, то

F_{тр. х} = −rυ_х = −r .

Рассмотрим процесс свободных затухающих колебаний на примере груза на пружине (разд. 9.3). При наличии трения, второй закон Ньютона для такого груза будет иметь вид:

m = ∑F_x = F_{тр. х} + F_{упр. х} = −r − kx,

или:

m + r + kx = 0,

или:

.

Последнее уравнение удобно записывать в каноническом виде:

, (9.10)

где величина называется коэффициентом затухания, а величина

− собственной частотой колебательной системы. Собственная частота ω₀ равна частоте свободных колебаний без трения, но немного отличается от частоты ω свободных колебаний с трением.

Вид решения уравнения (9.10), как и в разд. 9.3, зависит от способа возбуждения колебаний. Если колебания начинаются при начальном отклонении груза от равновесия на расстояние Х₀ и отпускании его, а сопротивление среды не слишком велико: β < ω₀, то решение уравнения (9.10) будет таким:

x(t) = X₀ е^−βt cos ωt, (9.11)

где

ω = (9.12)

− угловая частота затухающих колебаний. Видно, что частота колебаний с трением меньше частоты ω₀ соответствующих колебаний без трения.

Функция (9.11) описывает процесс затухающих колебаний. Её график показан на рис. 9.8.

Д ля описания затухающих колебаний вводятся следующие понятия и параметры:

1. Период. Период колебаний

.

2. Амплитуда. Экспоненциально убывающий множитель

, (9.13)

стоящий в (9.11) перед периодической функцией, называется амплитудой затухающих колебаний (рис. 9.8).

3. Время релаксации. Время τ, за которое амплитуда убывает в е = 2,72 раза, называется временем релаксации, или постоянной времени затухающих колебаний. В соответствии с этим определением,

, отсюда .

4. Логарифмический декремент затухания. Натуральный логарифм отношения двух «соседних амплитуд», (т. е. амплитуд, взятых через период Т) называется логарифмическим декрементом затухания δ:

.

В соответствии с этим определением,

. (9.14)

На основе этого определения несложно показать, что если измерить некоторую амплитуду Х_k и следующую за ней через N периодов Х_k+N, то логарифмический декремент затухания можно определить по формуле

(9.15)

(доказать это самостоятельно).

5. Слабое затухание. Затухание называется слабым, если не просто β < ω₀, а β≪ω₀. Символ « ≪ » означает, что меньше, по крайней мере, на порядок. Из соотношения (9.12) следует, что при слабом затухании ω ≈ ω₀, т. е. частота свободных колебаний ω практически равна собственной ω₀ = . Кроме того, как следует из (9.14), при слабом затухании .

6. Добротность. Важной характеристикой колебательного контура является его добротность Q. Добротность можно определить несколькими эквивалентными способами. Наиболее простое определение такое:

Q = ,

т. е. это величина, обратная логарифмическому декременту затухания с множителем π. Добротность является полезной характеристикой контура лишь при слабом затухании; в этом случае

.

Измерив убывание амплитуды за несколько десятков периодов колебаний даже простого шарика, подвешенного на тонкой нити и качающегося в воздухе, по формуле (9.15) легко подсчитать, что для него величина δ составляет порядка 0,01, следовательно, добротность Q такого маятника составляет порядка нескольких сотен.

7. Критическое сопротивление среды. Если сопротивление среды достаточно велико, т. е. она «слишком вязкая», то колебаний груза вообще не будет. Например, если груз находится в вязкой жидкости, то при начальном отклонении он затем просто плавно вернётся к равновесию и остановится. Можно показать, что такой процесс плавного возвращения к равновесию без колебаний будет при условии: β ≥ ω₀, т. е., в случае пружинного маятника, когда сопротивление среды r ≥ 2 . Величина

r = 2 = r_кр ,

при которой колебательный процесс вырождается в апериодический, называется критическим сопротивлением среды. Можно показать, что в критическом режиме колебательная функция (9.11) вырождается в апериодическую:

.

График этой функции показан на рис. 9.9.

При затухающих колебаниях энергия, периодически превращаясь их потенциальной в кинетическую и обратно, при этом «потихоньку» теряется, рассеиваясь в тепло в основном через трение груза о среду. В качестве полной энергии, имеющейся в колебательной системе в данный момент времени, удобно принять максимум потенциальной энергии, когда кинетическая равна нулю: W_полн (t) = kX²(t)/2. Подставляя в это выражение формулу (9.13), получаем закон убывания энергии системы при затухающих колебаниях:

W_полн (t) =W₀ e^−2βt,

где W₀ − первоначально сообщённая системе энергия.