2.2. Прямолинейное движение

Простейший вид движения ‑ это движение частицы по прямой, например, вдоль оси х. В этом случае во всех определениях разд. 2.1 следует заменить векторы на их х-компоненты:

r(t) → x(t),

Δr → Δx,

υ(t) → υ_х(t),

а(t) → а_х(t).

При этом следует иметь в виду, что все величины в правых частях будут не просто скалярными, а алгебраическими скалярами, т. е. скалярами со знаком. И х знаки определяются положением и направлением перемещения частицы на оси х. Например, положения и скорости частиц 1 и 2 на оси х (рис. 2.2) будут такими: х₁ = −2 м, υ₁ = −1 м/с, х₂ = −1 м, υ₂ = +1 м/c.

2.2.1. Равномерное движение

Р авномерное прямолинейное движение ‑ это движение с постоянной вдоль оси х скоростью: υ = const. Так как υ = dx/dt, то интегрирование соотношения dx = υ dt даёт:

х(t) = υt + x₀ ,

где х₀ − начальное положение частицы. Если х₀ = 0, то кинематическое уравнение движения частицы по оси х будет таким:

х(t) = υt.

Графики этой зависимости при υ > 0 и при υ < 0 показаны на рис. 2.3.

2.2.2. Равноускоренное движение

Р авноускоренное движение по оси х ‑ это движение с постоянным ускорением. Так как а = dυ/dt, то интегрирование уравнения dυ = adt при а = const и начальной скорости υ(0) = υ₀ даёт:

υ(t) = υ₀ + at. (2.1)

Величины υ, υ₀ и а здесь являются алгебраическими, т. е. они могут быть положительными и отрицательными. Графики функции (2.1) при υ₀ > 0 и а > 0 и а < 0 показаны на рис. 2.4.

И нтегрируя уравнение (2.1) ещё раз, получаем зависимость х(t) при равноускоренном движении:

х(t) = .

Полагая, что в начальный момент х₀ = 0, получаем:

х(t) = . (2.2)

Графики этой функции при х₀ = 0, υ₀ < 0, а > 0 и при х₀ = 0, υ₀ > 0, а < 0 показаны на рис. 2.5 (это фрагменты парабол, по-разному ориентированных).

Формулы (2.1) и (2.2) называются кинематическими уравнениями равноускоренного движения. Если выразить t из (2.1) и подставить в (2.2) то получим третье кинематическое соотношение, в котором отсутствует время:

υ² − υ₀² = 2ах.

Замечание. При а < 0 движение иногда называют равнозамедленным, но мы и его будем называть равноускоренным, только с отрицательным ускорением (ведь оно равнозамедленное до тех пор, пока скорость на сменит знак).

2.3. Движение по окружности

Движение частицы по окружности для кинематики столь же фундаментально, как и движение по прямой, ибо окружность является прототипом любой кривой. Это означает, что малый участок любой гладкой кривой можно рассматривать как дугу окружности определённого радиуса.

При движении по окружности наиболее характерным является наличие центростремительного ускорения, направленного к центру окружности.

2.3.1. Угловая и линейная скорости

Пусть частица движется по окружности радиусом R с центром в точке О. Её положение на окружности определяется углом φ, образованным её текущим радиусом и какой-либо фиксированной осью, например, горизонтальной, как показано на рис. 2.6. Таким образом, движение частицы по окружности данного радиуса R считается заданным, если задана функция φ(t).

О пределение. Величина

ω = , (2.3)

показывающая скорость изменения угла φ, называется угловой скоростью частицы на окружности.

В системе СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с), так как угол φ в системе СИ измеряется в радианах 1 рад = (180/π)º ≈ 57º.

П усть зависимость φ(t) задана. Вычислим скорость частицы υ вдоль линии окружности, которая в данном случае называется линейной скоростью. По определению, линейная скорость

υ = ,

где Δl − малый элемент длины дуги окружности, соответствующий малому повороту на угол Δφ. А так как для малых углов Δφ ≈ Δl/R (рис. 2.7), то

υ = .

Таким образом, получаем связь между угловой и линейной скоростями:

υ = ωR.

Замечание. Вектор линейной скорости υ всегда направлен по касательной к окружности (рис. 2.6).