2.3.2. Угловое (центростремительное) ускорение

Покажем. что частица, двигаясь по окружности радиусом R с постоянной скоростью υ, испытывает постоянное по величине и всегда направленное к центру окружности О ускорение

а_ц.с = υ² /R, (2.4)

которое называется центростремительным.

По определению, ускорение

а = . (2.5)

При равномерном движении по окружности скорость частицы υ хотя и постоянна по величине, но всё время меняется по направлению. А это означает, что отношение Δυ/Δt ≠ 0. Вычислим его.

П усть за малое время Δt частица из точки М сместилась по окружности на угол Δφ. На рис. 2.8,а показаны векторы скорости в моменты t и (t+Δt). Чтобы найти вектор Δυ = υ(t + Δt) − υ(t) для его подстановки в (2.5), надо векторы υ(t) и υ(t + Δt) привести к одной точке, как показано на рис. 2.8, б. И тогда сразу видно, что при малом угле Δφ величина Δυ = υ Δφ. Следовательно, при постоянной по величине скорости υ для ускорения (тоже по абсолютной величине) получаем:

а = .

При Δt → 0, с учётом (2.3),

а = υ ω = ω² R,

что эквивалентно (2.4), если учесть, что υ = ωR.

И з рис. 2.8,б видно, что вектор Δυ всегда направлен к центру окружности, следовательно, ускорение частицы также направлено к центру (рис. 2.9), и поэтому оно называется центростремительным:

а_ц.с = = ω² R. (2.6)

2.3.3. Неравномерное движение по окружности

Если движение частицы по окружности неравномерное, то наряду с центростремительным ускорением (2.6), связанным с изменением вектора скорости υ по направлению, появляется и касательное, или тангенциальное ускорение а_τ , связанное с изменением вектора υ по величине:

а_τ = .

В еличина ε = называется угловым ускорением. Полное ускорение частицы будет векторной суммой: а = а_ц.с + а_τ . Для модуля полного ускорения получаем (рис. 2.10):

а = .

2.3.4. Период и частота

При равномерном движении частицы по окружности вводятся понятия периода и частоты.

Определение 1. Время Т, за которое частица совершает один оборот, называется периодом движения частицы по окружности:

Т = .

Определение 2. Величина, обратная периоду, или число оборотов частицы за единицу времени, называется частотой f её движения по окружности:

f = .

Таким образом, ω = 2πf = 2π/T.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3. Законы ньютона

Задачей кинематики является описание движения тел по различным траекториям и не затрагивается вопрос о причинах, или силах, вызывающих это движение. Раздел «Законы Ньютона» открывает более обширную часть механики, называемую «Динамикой», где изучается влияние различных сил на характер движения тел, а также общие законы, которым подчиняются системы взаимодействующих тел в пространстве.

3.1. Понятие силы

В разд. 1 были даны понятия массы, времени и длины как первичные и формально не определяемые, а вводимые через эталоны. Эталона силы нет, формально она также не определяется. Её можно ввести лишь описательно, как некоторую меру взаимодействия тел, приводящую либо к изменению характера их движения, либо к их деформациям, как некоторый эквивалент трёх различных фундаментальных взаимодействий: ядерного, электромагнитного и гравитационного. Последнее означает следующее.

Например, тело неподвижно лежит на столе. При этом оно участвует в двух взаимодействиях: гравитационном − со стороны Земли и упругом, которое по существу является электромагнитным, − со стороны поверхности стола. Тело неподвижно, значит эти два взаимодействия в чём-то компенсируют друг друга, хотя их природа совершенно различна. Вот это общее и называют силой, с которой Земля и стол действуют на тело.

Сила F является величиной векторной, т. е. она описывается не одним числом, как скаляры, а тройкой чисел − компонентами: F = {F_x , F_y , F_z }, задающими её направление. Корень квадратный из суммы квадратов компонент даёт модуль этого вектора, или величину силы F:

|F| ≡ F = .

Для силы F справедлив принцип суперпозиции: если к телу приложено несколько сил F_k, то результирующая сила F равна векторной сумме сил F_k :

F = ∑ F_k .

В частности, две силы складываются по правилу параллелограмма (рис. 3.1):

В мегамире основной силой является гравитационная

,

В макромире основная сила − электромагнитная, которая проявляется в различных формах: сухое и вязкое трение, упругость, чисто кулоновское или чисто магнитное взаимодействие зарядов.