5.5. Центр масс

В любой системе частиц есть особая точка С, называемая центром масс. Её положение в выбранной системе координат определяется вектором

, (5.3)

где m_i и r_i − масса и радиус-вектор i-той частицы, − масса всей системы (рис. 5.3).

Векторное определение (5.3) эквивалентно трём скалярным, определяющим декартовы координаты центра масс:

Комментарий. Выражение означает, что х_С − это некоторое среднее х-координат всех частиц с весовыми множителями m_i . Если все массы m_i одинаковы, то х_С − это просто среднее арифметическое х-координат всех частиц: , где N – количество частиц в системе.

Пример 1. Найти центр масс системы двух частиц массами m₁ = 1 кг и m₂ = 1 кг, на расстоянии l = 1 м друг от друга.

Решение. Положим частицы на ось х, и пусть х₁ = 0, х₂ = l = 1 м. Тогда

м.

Для нахождения центра масс сплошного тела его надо разбить на малые частицы (например, кубики) массой dm = ρdV, где ρ – плотность тела, dV – элементарный объём кубика. И пусть r – радиус-вектор этого кубика. Тогда правая часть (5.3) становится предельной суммой, т. е. интегралом по всему объёму V тела:

. (5.4)

Векторное соотношение (5.4), как и (5.3), эквивалентно трём скалярным.

Ясно. что центр масс всякого тела должен находиться где-то внутри выпуклого многогранника, охватывающего тело. Но вовсе не обязательно, чтобы он лежал в самŏм теле. Например, центры масс кольца и полукольца лежат вне этих тел.

Пример 2. Найти центр масс полушара радиусом R.

Решение. Очевидно, что центр масс полушара должен лежать где-то на его оси. Обозначим её осью х, положив х = 0 в центре основания полушара. Тогда, в соответствии с (5.4), получаем, что координата центра масс

.

Если нам удастся выразить элемент объёма dV как функцию х, то объёмный интеграл сведётся к обыкновенному. Для этого разобъём полушар на тонкие диски толщиной dx (рис. 5.4). На высоте х радиус такого диска r = , а его объём

dV = πr² dx = π(R² – x²)dx.

Тогда, учитывая, что объём полушара V = (2/3)πR³, получаем:

.

5.6. Уравнение движения центра масс

Продифференцировав (5.3) по t, получим, что скорость центра масс системы частиц (или твёрдого тела)

,

где р – импульс всей системы (тела). Отсюда

р = mυ_С .

Вывод: импульс системы частиц (или тела) равен произведению её массы на скорость её центра масс, независимо от её возможных вращений.

А поскольку скорость изменения импульса системы частиц равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:

,

то

. (5.5)

Вывод: ускорение центра масс не зависит от точки приложения внешней силы, а сам центр масс движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке, и к ней бы была приложена сила F_внеш. .

Уравнение (5.5) называется уравнением движения центра масс. Из него следует, что если F_внеш.= 0, то υ_С = const, т. е. центр масс системы частиц (или твёрдого тела) движется с постоянной скоростью.

6. Динамика движения частицы по окружности